Cómo mostramos que un ideal de polinomios es el primer

Question

Estoy tratando de resolver este ejercicio:

Para ello, estoy intentando probar que $(X_1^2+X_2^2+X_3^2)$ es un ideal primo.

Supongamos que ahora $f,g\in \mathbb R[X_1,X_2,X_3]$y $f\cdot g\in (X_1^2+X_2^2+X_3^2)$, i. e., $f\cdot g=h\cdot(X_1^2+X_2^2+X_3^2)$, $h\in \mathbb R[X_1,X_2,X_3]$.

Supongamos que $f\notin (X_1^2+X_2^2+X_3^2)$, entonces tenemos que demostrar que $g\in (X_1^2+X_2^2+X_3^2)$...

No podía ir más lejos, que realmente necesito ayuda.

Muchas gracias

Answer 1

Tal vez es de destacar que de manera más general, $$F=X^2_1+X^2_2+X^2_3 \en k[X_1,X_2,X_3]$$ es irreductible, si la característica de $k$ no es igual a $2$.

Para ver esto, observe que puesto que $k[X_1,X_2]$ es una única factorización de dominio, la cuadrática ($!$) polinomio $$F=X^2_1+X^2_2+X^2_3 \(k[X_1,X_2])[X_3]$$ es reducible si y sólo si $$-(X^2_1+X^2_2)$$ es un cuadrado de $k[X_1,X_2]$. Pero si $\operatorname{char}(k) \neq 2$, esto es imposible (¿por qué?).

De manera más general, un argumento similar muestra que si $\operatorname{char}(k) \neq 2$, entonces la forma cuadrática $$G=\sum_{i=1}^nX^2_i \en k[X_1,...,X_n]$$ es irreductible, si $n \geq 3$ (uso de la inducción en $n$).

Answer 2

Alternativa: Basta para probar que $\mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ es un dominio integral. Pero esto es isomorfo a

$\mathbb{C}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2) \stackrel{y \mapsto iy}{\cong} \mathbb{C}[x,y,z]/((x+y)(x-y)+z^2) \cong \mathbb{C}[u,v,z]/(uv+z^2)$

Obviamente que es un dominio integral (o uso Eisenstein con el primer elemento $u$).

Answer 3

Dehomogenizing, $\, x^2\!+y^2\!-1\,$ es irreducible (lo principal), $\,1\!-\!y^2\,$ es rectangulares en la UFD $\,\mathbb R[y],\,$ puesto que el primer $\,1\!-\!y\,$ ocurre a potencia impar (equivalente se aplican Eisenstein en el % primer $\, 1\!-\!y).$