¿Se puede representar cada número real por un decimal (posiblemente infinito)?

Question

Cada número real tiene una representación dentro de nuestro sistema decimal? La razón que pido es porque, desde el principio de matemáticas licenciatura mucho de 'matemáticos' yo había asumido anteriormente han sido constantemente modificado, o completamente despojada. Me pregunto si mi subconsciente suposición de que cada número real puede ser representada en forma tal es, de hecho, incorrecta?

Si es así, hay una prueba? Si no, ¿por qué no?

(También, no estoy muy seguro de cómo etiquetar a esta pregunta?)

Answer 1

Supongamos $x$ es un número real positivo. Se puede demostrar que $n\mapsto 10^n$ es un mapa que es ilimitado por encima de los números enteros, así que por Arquímedes de la propiedad, hay algunos entero $n$$10^{n+1}\ge x$. Tomar al menos $n$ (¿por qué debe uno existe?), y deje $a_{-n}$ ser el mayor elemento de $a$ $\{0,1,2,...,8,9\}$ tal que $a\cdot 10^n<x$ (¿por qué debe uno existe?). Ahora bien, dado $a_{-n},a_{-n+1},...,a_{m}$ algunos $m\in\Bbb Z$, dejamos $a_{m+1}$ ser el mayor elemento de $a$ $\{0,1,2,...,8,9\}$ tal que $$a\cdot 10^{-(m+1)}<x-\sum_{j=-m}^na_{-j}\cdot10^j$$ (why must one exist?) Recursively, this determines a sequence $a_{-n},a_{-n+1},...$ of elements of $\{0,1,2,...,8,9\}$ such that for all integers $m\ge-n$ we have $$S_m:=\sum_{j=-m}^na_{-j}\cdot 10^j<x.$$ In fact, $S_{-n},S_{-n+1},...,S_m,...$ is a non-decreasing sequence of positive numbers, so since bounded above by $x,$ this sequence converges to some number no greater than $x$ by the Monotone Convergence Theorem. We can even do better than that, and show that the sequence of partial sums $S_n$ converges to $x$ (why?). The series thus determined is the infinite decimal expansion of $x$.

Si $x$ ha sido negativa, podríamos adquirir un decimal de expansión para $-x$ de esta manera, y luego la opuesta a la que iba a ser una expansión decimal para $x$. $0$ tiene una expansión decimal, también, para todos los números reales tienen un decimal de expansión, y por otra parte, todos ellos (excepto posiblemente $0$) tienen una expansión decimal infinita (aunque algunos pueden tener también un decimal finito de expansión).

Answer 2

La respuesta es sí. El hecho de que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ nos da la línea de salida para llegar a cada número real como una secuencia de aumento de la larga secuencia de dígitos. ($ 1 \ 1,4 \ 1,41 \ 1,412 \ \dots \rightarrow \sqrt{2} $)

para calcular incluso más dígitos, tenemos un montón de algoritmos.

si tu pregunta es "pienso en $x$ aleatoria de número real, ¿cuál es la representación decimal?" Voy a responder, "es entre el $a$ y $a+1$ ($a \in \mathbb{N}$) ? Si la respuesta es sí, entre el $a,1$ $a,2$ por ejemplo (si no le voy a preguntar por $a,2$$a,3$ ...) y así sucesivamente.

A cada paso me va a construir una secuencia de dígitos que convergen a su número. :)

Obviamente, hay diferentes secuencias que convergen en el mismo número ($1=0,\overline{9}$) y yo uso un intuitivamente medio de la convergencia.

Answer 3

Los números irracionales se sabe que los antiguos Griegos, como espero que usted sabe. Pero tomó la humanidad otro de 2000 años para llegar a una definición satisfactoria de ellos. Esto fue principalmente porque nadie se dio cuenta de que una definición satisfactoria de la basura.

Una vez que la humanidad se dieron cuenta de esto, varias sugerencias que se han propuesto. Una sugerencia (Dedekind) define un número real como dos conjuntos infinitos de números racionales, que 'sandwich' el número real; otra sugerencia (de Cauchy) define un número real como una clase de equivalencia de secuencias de obedecer a un cierto criterio de convergencia. Los detalles están disponibles en muchos lugares.

Pero el punto importante es que todas las definiciones razonables resultó ser equivalente -- el conjunto de los números reales, de acuerdo a Dedekind definición de la era 'el mismo' como el conjunto de los números reales, de acuerdo a la definición de Cauchy, aunque las definiciones aspecto completamente diferente.

Ahora, a tu pregunta: otra definición razonable de un número real es un no-terminación decimal de expansión (decimos que no termina sólo para aclarar la ambigüedad que surge entre por ejemplo, 123.4599999... y 123.46 -- sólo la primera está permitido). Resulta que esta definición es equivalente a la de todos los demás.

Por lo que su intuición es correcta. Pero estrictamente hablando, su pregunta es errónea: en lugar de preguntar si cada número real puede ser representada de esta forma, usted debe preguntar si esta representación de los números reales es una válida. Y lo que es.

Answer 4

Sí, cada número real tiene una representación decimal.

Los números de la forma $n/10^k$ donde $n$ $k$ son enteros y $n \neq 0$ tienen dos representaciones de cada uno (por ejemplo, 1.000... y 0.999... representan el mismo número real). Dependiendo de sus convenciones, el cero tiene una o dos representaciones: por ejemplo, $0$ $-0$ en el último caso. Cada otro número real sólo tiene una representación decimal.

Por el contrario, cada número decimal que es todo ceros a la izquierda es la representación de algún número real. por ejemplo, el número decimal

$$ ...000011.000... $$

es el número de la once. (recordar que cualquier cifra que no está escrito es cero, por lo que el decimal "11" realmente tiene ceros a su derecha e izquierda, como escribe explícitamente arriba)

En notación estándar, los decimales que no son todos ceros a la izquierda como

$$ ...11111.000... $$

no representan números reales.

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Hay generalizado anotaciones que permiten que algunos de izquierda infinito de decimales para representar los números reales (el número de arriba sería -1/9). También hay otros sistemas de números que se pueden representar con números decimales, tal como el 10-ádico números. Puede ser confuso para probar y aprender sobre estas cosas en este momento, a pesar de....