¿$\forall \alpha\in [0,1]\setminus\mathbb{Q}$, cómo probar $(\{2^n3^m\alpha\})_{m,n\in\mathbb{N}}$ es denso en [0,1]? $\{x\}$ es la parte fraccional de x.
¡Agradecería cualquier sugerencia!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
@zhoraster me propuso escribir la prueba como una respuesta. Está compuesto de una definición, un lema, y a continuación dos páginas de prueba.
Voy a escribir la definición y el lema, pero yo no incluiría completo 2-página de prueba aquí.
En primer lugar, se identifican las fracciones de los números reales como un one-dimensional torus $\mathbb{T}$.
Definición Para un entero positivo $n$, un conjunto $X\subset \mathbb{T}$ se llama $n$-invariante si $nx \ \mathrm{mod} \ 1$ $X$ siempre $x$ pertenece a $X$.
Lema Deje $\mathcal{M}=(m_i)_{i\geq 1}$ ser una secuencia infinita de enteros positivos distintos, dispuestos en orden creciente, de tal manera que $m_{i+1}/m_i\rightarrow 1$$i\rightarrow\infty$. Deje $X$ ser un cerrado infinito subconjunto de $\mathbb{T}$ $m_i$- invariante para cada $i\geq 1$. Si $0$ es un punto límite de $X$,$X=\mathbb{T}$.
El primer punto en la prueba de ello es que para cualquier entero positivo $u$, $\{2^{um}3^{un}\}_{m, n\in \mathbb{N}}$ pueden ser ordenadas en orden creciente y la secuencia satisface la hipótesis de $\{m_i\}$ de la lema. (Aquí es donde multiplicativo de la independencia de $2$ $3$ es utilizado).
El segundo punto en la prueba de ello es la configuración de $X$ el cierre de $\{2^m3^n\alpha \ \mathrm{mod} \ 1\}$, luego resulta que $X$ tiene un punto racional. (La prueba por contradicción, el lema se aplica.)
Por último, si $X$ tiene un punto racional, a continuación, $X$ satisface la hipótesis de $X$ de la lema. Por el lema, tenemos $X=\mathbb{T}$.
El segundo punto es el más largo de la parte de la prueba. Rechazar la hipótesis de '$X$ no tiene ningún punto racional' requiere de casi 1.5 páginas de la construcción de una secuencia de conjuntos en $\mathbb{T}$.
