Echa un vistazo a los artículos expositivos de Keith Conrad aquí http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ en la teoría de Galois y la teoría algebraica de números. Son todos maravillosos. En particular, te muestra cómo calcular cosas usando las herramientas que aprendes, lo cual es muy esencial en mi opinión. La mayoría de los temas de la Teoría de Galois cubiertos en sus notas parecen relevantes para la teoría algebraica de números, pero no los he leído todos en detalle porque aprendí la teoría de Galois en un curso universitario. Hay un poco de teoría algebraica de números elemental (al nivel del libro de Samuels mencionado por lhf más arriba) con la que tendrá que sentirse bastante cómodo antes de pasar a la teoría de campo de la clase. Creo que las notas de Keith sobre la teoría algebraica de los números cubren bien este material elemental, con muchos ejemplos de cálculos. Por último, recomiendo encarecidamente su nota "La historia de la teoría del campo de la clase" . Estoy seguro de que estarás preparado para leer a Lang si trabajas con el material de Conrad.
Para la teoría algebraica de los números, también recomiendo La "Teoría Algebraica de los Números" de Cassels-Fröhlich y Los "Primeros de la forma" de Cox $x^2 + ny^2$ " . Las notas de James Milne sobre la teoría algebraica de los números y la teoría de campo de la clase, disponibles gratuitamente en su sitio web, son geniales. La otra referencia estándar es La "Teoría Algebraica de los Números" de Neukirch que personalmente me gusta mucho. Cuando leas sobre valoraciones, terminaciones, etc., te recomiendo los folletos del curso de Pete L. Clark disponibles aquí: http://math.uga.edu/~pete/MATH8410.html . Además, se recomienda encarecidamente Los "Campos Locales" de Serre y La "Teoría del Campo de la Clase Local" de Iwasawa (este último es más difícil de encontrar, pero tengo una copia en pdf que estoy dispuesto a compartir con ustedes). De esto se deduce que hay muchas buenas opciones, y que tendrás que elegir tu propio veneno.
Debo mencionar que hay diferentes enfoques de la teoría de campo de clase (discutida en el siguiente enlace: http://mathoverflow.net/questions/6932/learning-class-field-theory-local-or-global-first ), y aprendí la teoría de campo de la clase local a través de los grupos formales de Lubin-Tate. Su corto artículo sobre este tema es una lectura maravillosa. Afortunadamente, el profesor Lubin frecuenta el MSE, así que puede recomendar más fuentes.
Creo que si quieres una motivación geométrica para el álgebra conmutativa, necesitarás algún conocimiento de geometría algebraica (al menos al nivel de las variedades clásicas) y las sugerencias de DonAntonio son estupendas. Sin embargo, puedes aprender el álgebra conmutativa requerida como y cuando lo necesites. Ciertamente, libros como Cassels-Fröhlich prueban la mayoría de los resultados del álgebra conmutativa usada en la teoría algebraica de números a lo largo del camino.
Si quieres aprender álgebra conmutativa como un tema en sí mismo, echa un vistazo a El "Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica" de Eisenbud que motiva las construcciones algebraicas usando la geometría. Sin embargo, como se mencionó en el párrafo anterior, es posible que se necesite un conocimiento básico de las variedades clásicas para comprender las motivaciones geométricas en este libro. Para ello, recomiendo "Una invitación a la geometría algebraica" de Karen Smith . Además, hay una nueva gema de Kleiman y Altman disponible aquí: http://stuff.mit.edu/afs/athena/course/18/18.705/www/syl12f.html que es como un Atiyah-Macdonald 2.0. En particular, los autores mencionan que su objetivo es mejorar algunas de las exposiciones de Atiyah-Macdonald usando un lenguaje categórico. Las notas son realmente maravillosas.
A pesar de estas recomendaciones, no creo que necesites tanta preparación para leer a Lang. En particular, me encontré con los diversos textos mencionados en mi respuesta como y cuando necesitaba aprender un tema en particular.
