Hace un grupo tiene un único pro-p topología?

Question

Si $G$ es un residual $p$ $G_i$ CUALQUIER filtración (es decir,$G_i\subset G_{i-1}$$\cap G_i=e$) de lo normal $p$-índice de poder de los subgrupos, es el correspondiente filtración de la costumbre pro-$p$ filtración?

Dicho de otra manera, si $H$ es normal $p$-índice de poder de los subgrupos, contiene una de las $G_i$'s?

La respuesta a la pregunta correspondiente para finitos filtraciones del curso es negativo, por ejemplo, la filtración $p^i\Bbb{Z}$ $\Bbb{Z}$ no le da la profinite topología de $\Bbb{Z}$. En el otro lado de abelian grupos de la respuesta a la pregunta anterior es positiva.

Answer 1

No, esto no es cierto (al menos asumiendo el axioma de elección).

Deje $G = \prod_{i=0}^\infty \mathbb{Z}/2$ y deje $\pi:G \to \mathbb{Z}/2$ ser cualquier surjective grupo homomorphism enviando el adecuado sub-espacio vectorial $\oplus_{i=0}^\infty \mathbb{Z}/2$ a cero. El núcleo de este homomorphism es un subgrupo $H$ de índice de $2$.

Deje $G_k = \prod_{i=k}^\infty \mathbb{Z}/2 \subset G$. A continuación, el $G_k$ son una filtración de $G$ como se pide, pero el $H$ no contiene ninguna de las $G_k$. Si lo hizo, entonces el grupo homomorphism $\pi$ es un factor a través de $G/G_k$ y por lo tanto ser determinada por sus valores en $\oplus_{i=0}^{k-1} \mathbb{Z}/2 \subset ker(\pi)$.

En el caso de que $G$ es topológicamente finitely generado supongo que se puede usar el mod-$p$ inferior central de la serie para demostrar que su declaración tiene una respuesta afirmativa -, pero no tienen un argumento en la mano.

Answer 2

Aquí están tres de las propiedades de un grupo topológico $G$ podría tener.

(1) El grupo es topológicamente finitely generado.

(2) Todos abstracto subgrupos finitos de índice están abiertas.

(3) Hay un número finito de resumen subgrupos con cada índice.

En 1975, Serre mostraron que (1) implica (2) para pro-$p$ grupos (una prueba está en la Secta. 4.3.4 de J. S. Wilson, Profinite Grupos, Oxford Univ. Press, Oxford, 1998) y que conjeturó que (1) implica (2) para todos los profinite grupos. Esta conjetura se demostró en 2007 por N. Nikolov y D. Segal en 2007, mediante la clasificación de los finitos simples grupos. (N. Nikolov y D. Segal, En finitely generado profinite grupos. I. Fuertes integridad y uniforme límites, Ann. de Matemáticas. 165 (2007), 171--238 y En finitely generado profinite grupos. II. Productos en quasisimple grupos, Ann. de Matemáticas. 165 (2007), 239--273.

H. L. Peterson (Discontinua personajes y subgrupos de índice finito, Pacífico J. Matemáticas. 44 (1973), 683--691) mostraron que (2) implica (3) compacto Hausdorff grupos y M. P. Anderson (Subgrupos de índice finito en profinite grupos, Pacífico J. Math. 62 (1976), 19--28) mostró (3) implica (2) para pro-solucionable grupos. Por lo tanto, (2) y (3) son equivalentes para los pro-solucionable grupos, por lo que, en particular, para pro-$p$ grupos. Que (3) implica (2) para todo compacto Hausdorff grupos (por lo tanto todos los profinite grupos) se debe a J. S. Wilson (Lema 6 en la satisfacción de los Grupos de la máxima condición normal de los subgrupos, de Matemáticas. Z. 118 (1970), 107--114), mientras M. G. Smith y J. S. Wilson (En subgrupos de índice finito en compacto de Hausdorff grupos, Arch. Matemáticas. 80 (2003), 123--129) convencido de la equivalencia de (2) y (3) para compacto Hausdorff grupos.

En este punto podemos ver que (1) implica (2) para profinite grupos y (2) y (3) son equivalentes para los compactos de Hausdorff grupos. Para completar el circuito, es natural suponer que (3) implica (1) para profinite grupos (y quizás incluso todos los compacto Hausdorff grupos). Vamos a comprobar (3) implica (1) para pro-$p$ de los grupos, (1), (2) y (3) son equivalentes cuando $G$ es un pro-$p$ grupo.

Deje $G$ ser un pro-$p$ grupo satisfactorio (3). Un máximo de abrir subgrupo de un pro-$p$ grupo índice $p$, por lo que (3) implica que hay un número finito de máximos abrir subgrupos de $G$. La intersección de un número finito de abiertos subgrupos es abierto, por lo que la intersección de la máxima abrir subgrupos de $G$ está abierto. Esta intersección es la Frattini subgrupo $\Phi(G)$, lo $\Phi(G)$ está abierto en $G$. Se sigue de la Proposición. 2.8.10 en L. Ribes y P. Zalesskii, Profinite Grupos, Springer--Verlag, Berlín, 2000 que $G$ es topológicamente finitely generado.

Answer 3

Su pregunta, en el finitely generado caso, es una especie de contestado arriba.

En lo infinitamente generado caso, sin embargo, esta es una pregunta de investigación, he estado mirando por el último año o así. Estoy en medio de una nueva redacción de un documento sobre la abelian caso.

Si $G$ es cualquier finitely generado pro -$p$, por Serre, cualquier pro-$p$ topología debe tener todos finito índice de subgrupos abiertos, por lo que la respuesta es sí. Esto no es demasiado difícil de ver. Un resultado de Nikolov y Segal (2006) mostró que el mismo tiene para profinite grupos.

Hay dos diferentes conceptos de la única topología que podría significar aquí. Si $f:G\to H$ es un resumen isomorfismo entre dos pro-p grupos, tenemos tres posibilidades:

(1) $f$ debe ser continua. (2) $f$ no es continua, sino $G,H$ son isomorfos como pro-$p$ grupos. (3) $G,H$ son no isomorfos como pro-$p$ grupos.

Que este caso es totalmente dependiente de la estructura algebraica de $G$.

El primer caso es equivalente a decir que todos los automorfismos de a $G$ son continuas. Como en el anterior, cualquier finitely generado pro-$p$, de hecho, profinite grupos tienen esta propiedad. Sin embargo, no cada grupo debe ser finitely generado. Por la consideración de centralisers, que, como los núcleos de los mapas de la palabras, debe ser cerrado en cualquier profinite topología, se puede ver que cualquier (sin restricciones Cartesiano) producto finito de centreless grupos tiene esta propiedad. Por otra parte, teniendo en cuenta centralisers también dará este resultado para la Rama de Grupos.

Si asumimos que la generalización en el Continuum de la Hipótesis de falla, tenemos interesantes ejemplos de no isomorfos de manera abstracta ismorphic pro-$p$ grupos - el (sin restricciones Cartesiano) producto de $\aleph$, $\beth$ copias de $C_p$$2^\aleph=2^\beth$, por ejemplo. Es más interesante buscar ejemplos, que no dependen de este. Por lo tanto tiene sentido mirar countably basado en profinite grupos: aquellos que son el límite inversa de una contables de la colección de grupos finitos, en primer lugar.

Tyler Lawson da un buen ejemplo de arriba de este, pero no es demasiado difícil ver que estos grupos son todavía de manera abstracta isomorfo.

Más interesante, si $G$ es un countably basado en abelian pro-$p$ grupo con infinito exponente de torsión del grupo, a continuación, $G$ es de manera abstracta isomorfo a un producto cíclico de la $p$-grupos, y hay una cantidad no numerable de diferentes pro-$p$ topologías en $G$, que dan lugar a una cantidad no numerable de isomorfismo clases de pro-$p$ grupos.

Mi papel mostrando que esto es matemáticamente completa, pero va a rediseñar. Una versión que debe aparecer en el ArXiV en los próximos días. En el ínterin, me puede enviar un e-mail una copia de la solicitud.

Answer 4

no.

Sea G(n,p) ser el núcleo de GL_n(Z_p) -> GL_n(Z/p). Este es un pro-p grupo.

Suficiente matrices aleatorias en G(n,p) generar un grupo libre que tiene probabilidad positiva de ser densa. En otras palabras, la topología inducida por la libre grupo de finalización G(n,p). Si tenemos el mismo número de las matrices G(2,p) y G(3,p) esto le da dos topologías en el mismo grupo libre con diferentes terminaciones, ninguno de los cuales es el completo pro-p topología. Sin la aleatoriedad, el núcleo de GL_2(Z) -> GL_2(Z/p) es gratis, pero la topología de la venida de G(2,p) no es toda la pro-p topología.

En una dirección más positiva, de la congruencia de los subgrupos de la propiedad dice que cada finito índice subgrupo de GL_3(Z) contiene el núcleo de la reducción de la mod m para algunos m. Creo que esto implica que el único p-topología en el núcleo de la reducción de la mod p es la finalización G(3,p).