¿Hace la distribución $\log(1 + x^{-2}) $ 2\pi tienen un nombre?

Question

Funcioné a través de esta densidad el otro día. ¿Alguien esta ha dado un nombre?

$f(x) = \log (1 + x ^ {-2}) / $ 2\pi

La densidad es infinita en el origen y también tiene cola grasa. Vi se utiliza como una distribución previa en un contexto donde muchas observaciones debían ser pequeñas, aunque valores grandes se esperaban así.

Answer 1

De hecho, incluso el primer momento no existe. La CDF de esta distribución está dada por

$$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$$

por $x \ge 0$ y, por simetría, $F(x) = 1 - F(|x|)$ para $x \lt 0$. Ni esta ni ninguna de las evidentes transformaciones aspecto familiar para mí. (El hecho de que podemos obtener de una forma cerrada para la CDF en términos de funciones elementales, ya gravemente los límites de las posibilidades, pero algo oscuro y complicado de la naturaleza de esta forma cerrada rápidamente las reglas de las distribuciones o power/log/exponencial/trig transformaciones de ellos. El arco tangente es, por supuesto, la CDF de una de Cauchy (Estudiante $t_1$) distribución, exhibición de este CDF como (sustancialmente) perturbado versión de la distribución de Cauchy, que se muestra como el rojo guiones.)

Answer 2

Tal vez no.

No he podido encontrar en esta lista bastante extensa de las distribuciones:

Leemis y McQuestion 2008 Univariate distribución relaciones. Estadístico americano 62(1) 45:53