Suma de las células en el infinito de la junta es aún

Question

Deje $a,b,c$ ser pares de enteros positivos primos relativos. En una infinita checker board (infinito en todas las direcciones), cada celda contiene un número entero. La suma de los números enteros en cualquier $a\times a$ plaza es aún, en cualquier $b\times b$ cuadrado es par, y en cualquier $c\times c$ plaza también. Siempre se sigue que todos los números en el tablero son aún?

Si $a=1$, entonces todos los números debe ser par. Para mayor $a,b,c$, probablemente tengamos que tomar la superposición de los cuadrados de los tamaños de las $a,b,c$ a deducir que algunas células son incluso. Pero no está claro cuáles son.

Answer 1

Supongamos que ponemos un poquito en cada celda de esta cuadrícula infinita, todas las luces de comenzar. Nos puede, a voluntad, cambiar el estado de todas las luces en cualquier $a\times a$, $b\times b$, o $c\times c$ plaza, es decir, cualquier tipo de luz en esta plaza que estaba en está apagada y la luz que se apaga se enciende. Así, mediante la elección apropiada de plazas en la sucesión, se puede tratar de obtener diversos y complejos patrones de las células. Sin embargo, lo que es de destacar aquí, es que la suma de los valores en la iluminada cuadrados es siempre , incluso, ya que, trabajando en $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$, es decir, considerando sólo la paridad de valores - la adición de un valor es el mismo que restar, así que cuando nos flip todas las luces en una plaza, el cambio en la paridad es el mismo independientemente de si las luces se volcó encendido o apagado.

Ahora, si podemos utilizar este proceso para producir un iluminado $1\times 1$ plaza, ganamos, ya que esto implica que la suma de los de la luz cuadrados - de los cuales hay uno que es aún, y, por tanto, que la plaza es aún. Para hacer esto, observe que por el cambio de $b$ side-by-side $a\times a$ plazas, se puede crear una $ab\times a$ rectángulo de puntos iluminados. Del mismo modo, podemos crear una $ab\times b$ rectángulo de conmutación $a$ side-by-side $b\times b$ plazas. Supongamos que hemos superpuesto estos tales que dos de sus esquinas igualado y uno dentro de la otra - ahora tenemos una $ab\times|b-a|$ rectángulo, ya que básicamente iluminado el más grande, rectángulo, luego apagar las luces en el pequeño rectángulo, pero no tenían el mismo ancho, y por lo tanto, dado un rectángulo. Si apilamos un rectángulo sobre el otro, tendríamos $ab\times a+b$ rectángulo. Por un razonamiento similar, se puede construir un $ab\times |k_1a + k_2b|$ rectángulo para cualquier $k_1,k_2\in \mathbb{Z}$. Desde $a$ $b$ son coprime, existe un par de enteros $k_1$ $k_2$ tal que $k_1a+k_2b=1$, por lo tanto, a través de la superposición de una gran cantidad de $a\times a$ $b\times b$ plazas, podemos obtener un $ab\times 1$ rectángulo. Del mismo modo, podemos construir $bc\times 1$ $ca\times 1$ rectángulos. Entonces, cuando nos de la capa de estos, podemos obtener cualquier rectángulo que se puede expresar como, por $k_1,k_2,k_3\in\mathbb{Z}$: $$(k_1ab + k_2bc + k_3ca)\times 1$$ y desde $\gcd(ab,bc,ca)=1$, $k_1,k_2,k_3$ de manera tal que la anterior se simplifica a $$1\times 1$$ lo que implica que podemos, por el cambio de luces de esta manera, el rendimiento de un $1\times 1$ iluminada plaza que debe contener un número par. Por la traducción de esta solución, podemos probar esto de cada cuadrado.

Answer 2

Sí, creo que todos los números en el tablero debe ser par. Es, probablemente, suficiente para comprobar el contenido de 3 x 3 cuadrados. De la suma a ser, incluso, cada una de 3 x 3 celdas debe contener 0, 2, 4, 6 u 8 números impares. Sin embargo, como se inicio la elaboración de patrones con 2, 4, 6 u 8 números impares, simplemente moviendo el 3 x 3 celdas arriba/abajo/izquierda/derecha una fila generalmente conduce a conflictos.