La evaluación de la precisión en el cálculo de $\mathrm{e}$

Question

Estoy calculando $\mathrm{e}$ mediante el uso de un ordenador como este: $$ \mathrm{e} \approx \sum\limits_{i=0}^n {1\over i!} $$ Estoy de guardarla como un número racional.

Me preguntaba, si escribo mi número racional como un número decimal, se podría determinar, cuántos dígitos después del punto decimal son correctos para un valor dado de a $n$?

Answer 1

El uso de la Taylor resto de la fórmula se obtiene que, para algunos, $\xi\in (0,1)$ $$ 0<\mathrm{e}-\sum_{i=0}^n\frac{1}{n!}=\frac{\mathrm{e}^\xi}{(n+1)!}<\frac{3}{(n+1)!}. $$ Por lo tanto el error es menor que $\frac{3}{(n+1)!}$.

Answer 2

Como otra posibilidad, si se calcula $$\frac1e = \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!} $$ entonces usted tiene una alternancia de serie, por lo que el verdadero valor de $1/e$ es estrictamente entre dos sucesivas sumas parciales, que luego se puede invertir y representar en forma decimal. Los dígitos que están de acuerdo son ciertas.

Answer 3

La cola de la serie está acotada arriba por una serie geométrica: \begin{align} \sum_{i=n+1}^\infty \frac{1}{i!} \le \frac{1}{(n+1)!}\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^i}. \end{align}

Es fácil encontrar la suma de la serie, por lo que obtener un límite superior en $e$.

La baja obligada viene de detenerse después de un número finito de términos.

Answer 4

Desde los factoriales crecen tan rápido, el primer término que ignorar es una muy buena estimación del error. Así que si usted resumir a través de $n=10$, la primera ignorado plazo es $\frac 1{11!}\approx 2.5\cdot 10^{-8}$ El siguiente es un factor de $12$ más pequeño, por lo que el uso de la primera como de su error de estimación es bastante bueno.