Esta no es una respuesta como a uno le gustaría escribir uno, pero aún hay sólo una respuesta en torno a lo lejos - por lo tanto un segundo intento podría ser de ayuda, de todos modos, incluso si no se ha completado aún.
He llegado a través de una reclamación, que Ramanujan ha demostrado, que la función
$$ f(x) = 1 + {e^x \a más de 2^3} + {e^{e^x} \over 2^{3^4}} + {e^{e^{e^x}} \over 2^{3^{4^5}}} + ... $$
es todo. Esto implica, que la secuencia de los términos enfoque de cero para cada x, y por lo tanto que los denominadores superan los numeradores. Por esto podemos ver, que el iterado logaritmos aplicado a los numeradores, cuando reiteró h veces hasta llegar a x, a y, a continuación, se aplica con el mismo número de iteraciones para el denominador debe llegar a un valor arbitrariamente mayor que x , para cada k'th plazo después de la $ k \gt K$ para algunos fijos $K $.
Así tenemos la primera información, que $$ \ln^{[h]} \left(2^{3^{4^{\ldots ^h}}} \right)$$ donde $ \ln^{[h]} $ significa la h'fold iteración de la $\ln $ , diverge con el aumento de la h .
La segunda información es la trivial, que si las entradas de la iterada exponencial son todos iguales, y específicamente la igualdad de la base de los logaritmos naturales $e$ ,
$$ \ln^{[h]} \left(e^{e^{e^{\ldots ^e}}} \right)$$
entonces el logaritmo iterado de la iterada exponencial siempre llega en el mismo valor constante para aumentar h.
La tercera información es, entonces, que la iterada exponencial en la pregunta inicial que tiene la disminución de los términos,
$$ \ln^{[h]} \left(h^{\ldots ^{4^{3^2}}} \right)$$
así que, posiblemente, el uso de la argumentación de Ramanujan también se puede demostrar, que la expresión pidió, en realidad converge a un valor fijo. Lamentablemente no tengo acceso a la argumentación de Ramanujan, pero aquí hay un enlace en el tetration-foro para (posiblemente) más información útil de cómo recuperar esa fuente.
