Problema de valor inicial

Question

Resolver el siguiente problema de valor inicial:

$$\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt}+5y=0; y(0)=0 \text{ and } y'(0)=2 $$

Empecé con la ecuación característica que es:

$$ r^2+2r+5=0 $$

Usando la ecuación cuadrática, encontré que las raíces son:

$$-1+2i \text{ and } -1-2i $$

Así que mi ecuación general es:

$$ y(t)=e^{-t} [c_1 \cos(2t) +c_2 \sin(2t)] $$

Utilizando la información proporcionada, he encontrado $c_1=0$ y $c_2=1$ Así que sustituyendo obtengo:

$$y(t)=e^{-t} \sin(2t)$$

¡Si alguien puede confirmar si lo he hecho bien ayudaría mucho!

Answer 1

\begin{align} y'(t) &= e^{-t}(-\sin(2t) + 2 \cos(2t)) \\ y''(t) &= e^{-t}(\sin(2t) - 2 \cos(2t) -2 \cos(2t) - 4 \sin(2t)) \\ &= e^{-t}(-3 \sin(2t) - 4 \cos(2t)) \end{align} y luego $$ y''+2 y' + 5 y = e^{-t}((-3 + 2 + 1) \sin(2t) + (-4 + 4) \cos(2t)) = 0 $$ Y $y(0) = 0$ y $y'(0) = 2$ . Se ve bien.