Estimación china para $\pi$ . ¿Tuvieron suerte?

Question

La famosa estimación china $\pi\approx\frac{355}{113}$ es bueno. Creo que es también bueno. Como una fracción continua, $$\pi=[3; 7,15,1,292,\ldots].$$ Que $292$ es un poco demasiado grande. ¿Hay alguna razón para que las matemáticas chinas hayan encontrado una aproximación tan buena, o simplemente han tenido suerte?

Answer 1

Supongamos que un matemático chino puede obtener una aproximación exacta a $\pi$ calculando los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos en un círculo . Entonces, por ensayo y error o algún otro método, puede encontrar aproximaciones racionales de pequeño denominador a $\pi$ . No es probable ni necesario que las matemáticas chinas tuvieran alguna teoría especial, ahora desconocida, para la aproximación racional.

Sí, hay una buena razón para una aproximación: Como sabes, un convergente $h_n/k_n$ es la mejor aproximación a un número real de todas las fracciones racionales con denominador $k_n$ o menos . De hecho, si $|\pi b - a| < |\pi k_n - h_n|$ para alguna fracción racional $a/b$ entonces $b \ge k_{n+1}$ (ver Propuesta 16 ). Por lo tanto, no es de extrañar que 355/113 sea un convergente de $\pi$ . Además, la desigualdad $$\left|\pi - \frac{h_n}{k_n}\right| < \frac{1}{k_n k_{n+1}}$$ dado por Teorema 5 muestra que la aproximación $h_n/k_n$ es especialmente bueno ( cerca de ) en relación con el tamaño del denominador $k_n$ si el denominador $k_{n+1}$ del siguiente convergente es grande ( Corolario 2 al Teorema 5), que es el caso de 355/113 como vemos en los primeros convergentes de $\pi$ : 3/1, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102.

Su observación de que el cociente parcial $a_4$ = 292 es grande está en el objetivo porque $k_{n+1}$ está relacionado con $a_{n+1}$ mediante la fórmula recursiva $k_{n+1} = a_{n+1}k_n + k_{n-1}$ .

Por la proposición anterior, para obtener una aproximación racional con error inferior a $|$ 113 $\pi \, -$ 355 $|$ Necesitamos un denominador de cinco dígitos.

Alguien que descubre que 355/133 $\approx \pi$ no tiene suerte, sino que entiende bien la aproximación racional o tiene facilidad para los cálculos. Por otra parte, es probable que tenga suerte de que 355/113 sea una aproximación a $\pi$ porque los cocientes parciales en la expansión de la fracción continua simple para $\pi$ son aparentemente aleatorios .

Answer 2

¿Tal vez sea difícil de decir? Si tuvieran un una aproximación suficientemente buena de π , pueden llegar fácilmente a esta aproximación racional simplemente mirando los primeros 150 múltiplos de esa aproximación particular de π y viendo cuál se acerca a un número entero. Por supuesto, esta no es la forma más eficiente de encontrar convergentes de fracciones continuas, pero es la forma más sencilla que ni siquiera requiere conocimientos sobre fracciones continuas.

Parece que, por los comentarios, mi punto de vista ha sido poco claro. Para aclarar un poco más, todo lo que digo es que si hay una manera fácil de obtener los convergentes de las fracciones continuas a partir de una aproximación suficientemente precisa de π, entonces, a menos que haya evidencia de un método para obtener los convergentes directamente, creo que podemos asumir con seguridad que no lo hay. Como ha señalado David H en uno de los comentarios, se cree que el matemático chino podría haber utilizado una aproximación poligonal al círculo del mismo modo que Arquímedes, para obtener alguna aproximación $p \approx π$ después de lo cual, mirando los múltiplos de $p$ para ver si hay una "fracción agradable" cerca de ella es algo natural. $p$ tampoco tiene que estar en decimal.

Otro método totalmente simplista es hacer muchas macetas con diferentes diámetros enteros y ver cuáles de ellas tienen una circunferencia cercana a un número entero. Esto es ciertamente factible en cualquier civilización antigua y dará fácilmente $π \approx \frac{355}{113}$ ya que 113 macetas no son demasiadas. Esto no significa que alguien haya utilizado realmente ese método, sino que simplemente demuestra que no es tan difícil obtener esa fracción y, por lo tanto, nos resulta difícil saber de dónde surgió realmente.