Anillos conmutativos no noeterianos en los que todos los ideales máximos están generados finitamente

Question

En anillos conmutativos tenemos lo siguiente

Teorema. $R$ es noetheriano si y sólo si cada ideal primo de $R$ está generada finitamente.

A partir de este Teorema busco anillos conmutativos $R$ en el que cada ideal maximal está generado finitamente pero $R$ no es noetheriano.

Pregunta : ¿Existe un ejemplo directo de un anillo conmutativo $R$ para que cada ideal maximal sea generado finitamente, pero $R$ no es noetheriano?

Gracias

Answer 1

Dejemos que $A = C^\infty(S^1)$ sea el anillo de funciones suaves sobre el círculo (si lo prefieres, puedes verlo como el anillo de funciones suaves $2\pi$ -funciones periódicas $\mathbb R \to \mathbb R$ ).

Primero, $A$ no es noetheriano: el ideal $I_{\mathscr V(0)}$ de funciones que desaparecen en una vecindad de $0$ no está generada finitamente.

Pero los ideales máximos de $A$ son exactamente los $$\mathfrak m_p = \left\{ f \in A\, \Big |\, f(p) = 0 \right \},$$ para $p \in S^1$ que son generados por las dos funciones $(x,y) \mapsto x-x_p$ y $(x,y) \mapsto y - y_p$ . (Si piensa en $A$ como un conjunto de funciones trigonométricas, $x$ es $\cos$ y $y$ es $\sin$ ).

Pruebas de las distintas reclamaciones:

1. $I_{\mathscr V(0)}$ no es f.g. : Supongamos ad absurdum que $I_{\mathscr V(0)} = (f_1, \ldots, f_r)$ donde cada $f_i$ se desvanece en un barrio $V_i$ de $0$ . Entonces cualquier función de $(f_1, \ldots, f_r)$ se desvanece en $V = \bigcap V_i$ que es una vecindad fija de 0. Pero es fácil construir funciones de $A$ desapareciendo en una vecindad de $0$ tan pequeño como se desee (en particular, estrictamente más pequeño que $V$ ), una contradicción.
2. $\mathrm{Max}(A) = \left\{ \mathfrak m_p \, \Big | \, p \in S^1 \right\}$ : Dejemos que $I$ sea un ideal de $A$ . Vamos a demostrar que, o bien $I$ está contenida en algún $\mathfrak m_p$ o $I = A$ . La negación de " $I$ está contenida en algún $\mathfrak m_p$ " es "para todos $p \in S^1$ existe una función $f$ s.t. $f(p) \neq 0$ ". Como el conjunto en el que una función no desaparece es abierto y $S^1$ es compacto, lo que implica la existencia de un número finito de funciones $f_1, \ldots, f_r \in I$ tal que $\forall p \in S^1, \exists i : f_i(p) \neq 0$ . Entonces, $f = f_1^2 + \cdots + f_r^2 \in I$ es en todas partes distinto de cero, por lo que es invertible en $A$ y $I = A$ .
3. $\mathfrak m_p = (x-x_p, y-y_p)$ : La inclusión $\supseteq$ está claro. Dejemos que $f \in \mathfrak m_p$ . Por definición de una función suave en una submanifold, $f$ es la restricción de una función suave $F \in C^1(V)$ para algún barrio $V$ de $p$ en $\mathbb R^2$ . Por supuesto, $F$ todavía se desvanece en $p$ . La afirmación se desprende entonces de Lema de Hadamard .

PS : Todo esto parece indicar que $A$ tiene algunos extraños (en particular no f.g.) ideales primos. Debo confesar que no puedo entender realmente quiénes son.

Answer 2

En esta respuesta He construido un anillo $R\times M$ que se llama idealización de la $R$ -Módulo $M$ o el extensión trivial de $R$ por $M$ . En el caso especial $R=\mathbb{Z}_{(2)}$ (la localización de $\mathbb{Z}$ en el ideal primario $2\mathbb{Z}$ ) y $M=\mathbb{Q}$ se obtiene un anillo local que no es noeteriano y su ideal máximo $2\mathbb{Z}_{(2)}\times\mathbb{Q}$ es principal.

Answer 3

Como digo en esta respuesta de MO un anillo de valoración con un grupo de valores $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ (ordenado lexicográficamente) es un dominio noetheriano cuyo único ideal maximal es principal.

Answer 4

Basado en @PseudoNeo: respuesta. Toma el anillo de gérmenes de funciones suaves $\mathcal{C}_a$ en un punto $a$ en algún colector, un álgebra local. El lema de Hadamard dice que el único maximal $\mathfrak{m}$ ideal está finitamente generado. El ideal $$\mathfrak{m}^{\infty} \colon = \bigcap_{n \ge 0} \mathfrak{m}^n$$ es el conjunto de gérmenes de funciones cuya derivada desaparece en el punto base. Coincide con el núcleo del mapa germen de la función $\mapsto$ Ampliación de Taylor $$\mathcal{C}_a \to \mathbb{R}[t_1, \ldots, t_m]$$ al dominio de la serie de potencias, por lo que este ideal es primo. (por cierto, un morfismo suryectivo, por E. Borel)

Ahora $\mathfrak{m}^{\infty}$ no está generada finitamente. En efecto, tenemos $$\mathfrak{m}\cdot \mathfrak{m}^{\infty} = \mathfrak{m}^{\infty}$$ Si $\mathfrak{m}^{\infty}$ fueran generados finitamente, entonces a partir del lema de Nakayama concluiríamos que $\mathfrak{m}^{\infty}=0$ . Pero $\mathfrak{m}^{\infty}\ne 0$ , véase el ejemplo de Cauchy de una función con orden infinito de desaparición en $a$ .