$\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\mathbb{C}$ is often described as being constructed from $\mathbb{R}$ by freely adjoining an element $i$ satisfying $i^2 = -1$ (equivalently, $i^2 + 1 = 0$). This isomorphism is one way of saying that formally, since the polynomial ring freely adjoins a new element, and then quotienting forces the equation $x^2 + 1 = 0$.
¿Qué significa esto, exactamente? Los siguientes dos hechos son el núcleo de la misma:
La proposición. Vamos $R$, $S$ ser de cualquiera de los anillos. A continuación, el anillo de homomorphisms $R[x] \to S$ corresponden a los pares de un homomorphism $R \to S$ (la imagen de la constante de polinomios), junto con un elemento de $S$ (la imagen de $x$).
Esto formaliza la idea de que $R[x]$ libremente colinda con un elemento de a $R$ - en cualquier momento usted tiene un anillo con un mapa de $R$ y un elemento seleccionado, estos se extienden únicamente a un mapa de $R[x]$, ya que el anillo de homomorphism condiciones de determinar cuál es la imagen de cualquier polinomio debe ser una vez que usted sabe que las imágenes de las variables y los coeficientes.
La proposición. Deje $R$ ser un anillo, $a \in R$ cualquier elemento. Entonces para cualquier otro anillo $S$, homomorphisms $R/(a) \to S$ corresponden a homomorphisms $R \to S$ que envían $a$$0$.
Esto es también formaliza la idea de que quotienting por $(a)$ es exactamente obligando a la ecuación de $a = 0$.
Poniendo a estos en conjunto, $\R[x]/(x^2 + 1)$ es "libremente adición de un elemento con $x^2 = -1$$\R$"; esto explica, de forma intuitiva por qué usted debe esperar a ser isomorfo a $\C$.
Para construir el isomorfismo, poner juntos los hechos mencionados. Para cualquier anillo de $S$, un homomorphism $\R[x]/(x^2+1) \to S$ está determinado por la especificación de un homomorphism de $\R$, junto con un elemento $a$, de tal manera que $a^2 + 1 = 0$; y esta extensión es único, por lo que para comprobar que dos homomorphisms de $\R[x]/(x^2+1)$ está de acuerdo, es suficiente para comprobar lo que hacen en $\R$$x$. Este hecho le permite crear fácilmente un mapa de $\R[x]/(x^2+1) \to \C$; a continuación, usted explícitamente pueden dar un mapa de $\C \to \R[x]/(x^2+1)$, y comprobar que un homomorphism; y, a continuación, puede utilizar este hecho de nuevo en la comprobación de que los mapas son mutuamente inversas.
