La traza de un operador diferencial

Question

Dado el diferencial de operador: $$A=\exp(-\beta H)$$ donde $$H=\frac{1}{2}\left( -\frac{d^2}{dx^2}+x^2 \right)$$ y $\beta\gt 0$ ¿Cómo puedo obtener la traza de este operador? Gracias de antemano.

Answer 1

La traza de este operador se obtiene fácilmente de la siguiente manera: $$ Z={\rm Tr}\exp(-\beta H). $$ que es equivalente a $$ Z=\sum_n \langle n|\exp(-\beta H)|n\rangle. $$ Asumiendo $H|n\rangle=E_n|n\rangle$, esto es sólo $$ Z=\sum_n\exp(-\beta E_n). $$ Su caso es el oscilador armónico $E_n=n+\frac{1}{2}$ y la suma es sólo una serie geométrica fácil de realizar.