Análisis armónico significa diferentes cosas para diferentes personas, pero para mí es describir la descomposición en irreducibles de los regulares de la representación de un grupo de $G$ sobre el espacio $L^2(G)$ de cuadrado integrable $f:G\rightarrow\Bbb{C}$ a través de unas adecuadas "teorema de Plancherel".
Esto puede ser algo que usted está familiarizado con, pero lo diré de todos modos: la idea es que la serie de Fourier (en el sentido clásico) dan una forma de escribir una función en $S^1$ en términos de una suma de $e^{inx}$ con coeficientes de y $x\mapsto e^{inx}$ son precisamente el conjunto de unitario personajes de $S^1$. Esto se generaliza muy bien arbitraria de grupos compactos a través de la de Peter-Weyl teorema. Esto se indica con frecuencia en varios, esencialmente equivalente formas, pero vamos a tratar es como decir que el regular la representación de $G$ $L^2(G)$ se descompone como suma directa de los representantes de la irreductible unitario de representaciones de $G$, con la multiplicidad.
Eso es la mitad de la pregunta principal en el análisis Armónico, el otro es cómo algunos específicos de la función en $G$ se descompone con respecto a esto, que es (más o menos) para decir que si se forma el $G$-órbita de algunos $L^2$ función en virtud de los regulares de la representación, la cual unitario de representaciones qué vemos? Este tema se aborda a través de Plancherel fórmulas y "series de Fourier", y una vez que uno se mueve más allá de grupos compactos a través de los cálculos de Plancherel medidas (pero realmente no estoy calificado para decir nada demasiado detallada acerca de eso).
Como para "geométrica" y "espectral" de los objetos, que algo de lo que estoy menos seguro de que realmente está bien definido. Una buena manera de explicar lo que esto significa en general (es decir, no especializado para el análisis armónico) es el (Kac?) la pregunta de si se puede "escuchar la forma de un tambor". Esta pregunta debe ser interpretada como tomar algunos objetos geométricos (la forma de un tambor), y viendo lo que se "hace" (el sonido que hace cuando le pegas). Algo que se "hace" es un espectral del objeto. Este (tipo de) encaja con la manera en que estoy familiarizado con la palabra "espectral" que se utiliza en este contexto, en el que tiene su objeto (un grupo, vamos a palo con el pacto por simplicidad), y algo que se "hace" (hechos en el espacio de Hilbert $L^2$). A continuación, el análisis armónico da una manera de descomponer esta acción, de manera que supongo que es algo análogo a la descomposición de un operador en un espacio de Hilbert en subespacios propios.
No hay otra manera de que los términos "geométrica" y "espectral" en el análisis armónico, y que cuando se está utilizando fórmulas de seguimiento. Aquí, estoy realmente calificado para comentar, pero uno tiene un "geométrica" de la fórmula, que es una suma de varias órbitas de una acción por conjugacy y "orbital integrales" que se define en términos de $L^2$ función. Este es entonces igual a un "espectral", que es una suma de más de irreductible unitario de representaciones de las huellas de la representación.
Siento que todo esto ha sido un poco vago, pero estoy lejos de ser un experto en análisis armónico-es sólo un área que demuestra resultados interesantes en mi campo de una manera que yo no lo entiendo! Yo no sé en realidad de una única referencia que explica todo esto muy bien; tengo la mayor parte de mi comprensión por rebotando entre las diversas referencias y jugando con ejemplos. La parte superior de mi cabeza, recuerdo gusto Terry Tao notas sobre Peter-Weyl, Deitmar y Echterhoff los Principios del Análisis Armónico (que al parecer también tiene un más suave precursor que se encarga de la menos abstracta lado de las cosas, aunque nunca lo he mirado), y Folland del Curso en Resumen el Análisis Armónico. En el número más teórico lado, también hay Ramakrishnan y Valenza del Análisis de Fourier en los Campos de Número. Sin duda recomiendo hacer un par de ejemplos sencillos donde usted debe ser capaz de trabajar la teoría completamente. Tal vez $\Bbb{Z}/n\Bbb{Z}$, $S_n$ para algunos pequeños $n\geq 3$, y algunos buenos, no trivial compacto de Lie del grupo o algo a lo largo de esas líneas (la clave para elegir una buena instrucción por ejemplo, en la elección de uno donde usted puede olvidarse de las topologías porque es "evidente" que las representaciones que está trabajando, y luego simplemente leer de una tabla de caracteres / clasificación de irreducibles).
