Intentaré replantear correctamente lo que el usuario1938185 quería decir. Porque $\Bbb Q$ es un campo, resolviendo cualquier lineal no puede obligar a sus variables a tomar valores fuera de $~\Bbb Q$ . Por comparación, considere un conjunto de ecuaciones lineales en un espacio vectorial real (cada una tiene un hiperplano de soluciones, usted está tratando de encontrar la intersección de esos conjuntos de soluciones). Espero que te sorprendas mucho si te dicen que no existe ninguna solución (la intersección está vacía) pero que se puede construir una solución generalizada tomando coordenadas complejas en lugar de reales. De hecho, esto no puede ocurrir nunca (aunque sí puede ocurrir en el caso de las ecuaciones polinómicas; de hecho, los números complejos se crean "inventando" una solución para la ecuación cuadrática $x^2=-1$ ).
Si te fijas en las operaciones que has aprendido para resolver ecuaciones lineales (formación de combinaciones lineales de ecuaciones, eliminación de Gauss, sustitución, lo que sea), verás que sólo implican operaciones aritméticas (incluida la división tras comprobar que no es por cero) que nunca pueden hacerte salir de un campo $~F$ que contiene los coeficientes del sistema original (en su pregunta sería $F=\Bbb Q$ ). O usted y hasta con una simple contradicción del tipo $0x=1$ que tampoco tendrá solución en cualquier campo mayor que $~F$ que puede inventar, o ha encontrado una solución única utilizando operaciones aritméticas (que entonces sólo implicará valores en $~F$ ), o bien se obtienen soluciones múltiples, en las que algunas variables se pueden elegir libremente y las otras se pueden expresar en términos de ellas mediante operaciones aritméticas. Sólo en la última situación puede ocurrir que también tengas soluciones en las que las variables tomen valores fuera de $~F$ (los libremente elegidos pueden ciertamente ser tomados de esa manera), pero no necesito para hacer esto: si todas las variables elegidas libremente se toman para tener valores en $~F$ entonces todo tomará variables en $~F$ .
En resumen, si se tiene un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en un subcampo $~F$ de un campo estrictamente mayor $~K$ entonces la existencia de soluciones con valores en $~K$ implica la existencia de soluciones con valores en $~F$ . En particular, si hay un único con valores en $~K$ , en realidad tiene valores en $~F$ . Puede aplicar esto en entre otros con $F=\Bbb Q$ , $K=\Bbb R$ o con $F=\Bbb R$ , $K=\Bbb C$ .
