Los tres últimos dígitos de número de $1^{2013} + 2^{2013} + 3^{2013} + ... + 1000^{2013}$

Question

Estoy tratando de encontrar los tres últimos dígitos de número de $1^{2013} + 2^{2013} + 3^{2013} + ... + 1000^{2013}$. Empecé a calcular el resto de los números, ya que puede presentar incluso números como $2^i$. Utilizando el teorema de Euler y repetido cuadratura he calculado que $2^{2013}$ $(mod$ $1000)$ es $192$, $4^{2013}$ $(mod$ $1000)$ es $384$, $8^{2013}$ $(mod$ $1000)$ es $768$ y así sucesivamente. Así que puedo mostrar el resto de la suma de los números pares como $192$ $Σ 2^{(i-1)}$ $(mod$ $1000)$, $i = 0$$500$. Pero estoy un poco perdido a partir de aquí, todas las ideas sobre ¿cómo puedo seguir?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(1000-n)^{2013}+n^{2013}\equiv (-n)^{2013}+n^{2013}\equiv 0\pmod{1000}$$

Por lo tanto $$\sum_{j=1}^{999}j^{2013}=500^{2013}+\sum_{j=1}^{499}[j^{2013}+(1000-j)^{2013}]\equiv 0\pmod{1000}$$

Luego, los tres últimos dígitos de la suma son ceros.