¿Por qué se llama lineal una transformación lineal?

Question

$T (av_1 + bv_2) = aT(v_1) + bT(v_2)$

¿Por qué es esto llamado lineal? $f(x) = ax + b, el más simple de la ecuación lineal no satisface $f (x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$.

Gracias.

Answer 1

Sí, en la escuela secundaria decimos $f(x) = 3 x + 4$ es una función lineal, pero tal como usted señala, en álgebra lineal no es. Es irritante.

La palabra $x \mapsto ax + b$ es transformación afín, y este es el término que vas a escuchar en otros lugares en matemáticas superiores.

Answer 2

http://hsm.stackexchange.com/questions/2490/why-do-we-call-a-linear-mapping-linear-mapping

Como se explica allí, el término lineal de la asignación fue acuñado por Hermann Graßmann. Describe las asignaciones que preservan la estructura lineal de un espacio, es decir, la forma en que la ampliación de la longitud de un vector parametriza una línea. Si se aplica un mapeo lineal, la imagen seguirá siendo una línea.

Ahora, que la verdad para afín a los mapas, así que se podría argumentar que la escuela secundaria término, el uso de lineal a la media de funciones de la forma $\backslash x \mapsto\cdot x + b$, en realidad es más significativo. Pero, por desgracia, a veces sub-óptima de la terminología de palos. No tiene por ahora se ha escrito mucho acerca lineal mapas significado de las funciones que cumplir con $f(\mu\cdot \mathbf v + \nu\cdot \mathbf w) = \mu\cdot f(\mathbf v) + \nu\cdot f (\mathbf w)$, que en su mayoría causan confusión a utilizar para otra cosa.

Answer 3

Expresiones de la forma $av_1 + bv_2$ se llaman combinaciones lineales. Transformaciones lineales son las funciones de envío de combinaciones lineales a combinaciones lineales (preservación de coeficientes). Es decir, una se llama función lineal cuando preserva combinaciones lineales.

Answer 4

Usted puede referirse a ellos como "$k$-vectorspace homomorphisms" si lo desea.

En un poco más de detalle: si $k$ es un campo, entonces $k$-vectorspace puede ser pensado como un conjunto $X$ equipado con, para cada secuencia de $a \in k^n$, una correspondiente "combinación lineal de asignación" $X \leftarrow X^n$. Por convención, la estructura de la preservación de las asignaciones entre $k$-vectorspaces se llama "$k$-lineal se transforma," o, simplemente, $k$-lineal, probablemente debido a que la frase "lineal-combinación de asignación de preservación de la asignación" es algo demasiado confuso. Como he dicho, puede que se refieren a ellos como $k$-vectorspace homomorphisms si usted desea.

Pero esto sólo empuja de nuevo el tema: ¿por qué son llamados, de todas las cosas, lineal combinaciones? Bueno, si $X$ es un $k$-vectorspace nos ha dado un vector único de $x \in X$, entonces $$\{ax : \in k\}$$ es el conjunto de todos los elementos de $X$, que puede obtenerse mediante la aplicación de combinación lineal de las asignaciones de $x.$ En el caso especial donde $k=\mathbb{R}$, esto puede ser visualizado como una línea a través del origen.

Así que "combinación lineal" es, probablemente, el mejor pensamiento de como una abreviación para "line-por-el-origen de la combinación." Por supuesto, si tenemos dos vectores, entonces estamos potencialmente hablando de un plano que pasa por el origen. Y así sucesivamente.

De hecho, álgebra lineal no es realmente acerca de líneas; es realmente acerca de la plana cosas que pasan por el origen. Tal vez debería haber sido llamado "el álgebra con respecto al origen" en su lugar!

Answer 5

Primero de todos, la ecuación es verdadera en el caso trivial, donde b=0.

Como otros han señalado, cuando b no es igual a cero, el resultado se llama una transformación afín.

Por definición, una transformación afín no conserva las otras propiedades subyacentes de la original función lineal, porque es un "paralelo" shift es por eso Que se considera como "lineal" de la transformación, aunque el término es, de hecho, un poco engañoso en este contexto.