Ha de L'Hospital de la Regla ha sido estudiado como un operador?

Question

Descubrí mientras que la enseñanza de Calc 2 que si se aplica la regla de L'Hospital a $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ obtener $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$, y si se aplica de L'Hospital de nuevo consigue $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. En otras palabras, el L'Hôpital operador tiene un ciclo de orden dos.

EDICIÓN (Gracias KennyTM): "supongo que el de L'Hospital operador debe estar definido en clases de equivalencia de pares de $(f(x),g(x)$ de funciones diferenciables con la fracción de equivalencia: $(f(x),g(x))\equiv(h(x),k(x))$ si y sólo si $fk=gh$." Esto no funciona. Pero realmente no tomar pares de funciones a los pares de la función. Así que el primer problema es averiguar cómo es un operador.

¿Alguien ha estudiado este operador? Wikipedia me dice nada.

Sí, sé que es más fácil encontrar el límite dividiendo por $x$, pero algunos estudiantes quieren aplicar L'Hôpital para todo.

Answer 1

No sé si ha sido estudiado como un operador diferencial, y que tipo de duda, pero creo que se podría definir de una manera similar a la forma en que usted sugiere.

Considere dos pares (f,g) y (h,k) equivalente si $f/g = h/k$ o más $fk = gh$. A continuación, el operador L actúa en clases de equivalencia mediante la siguiente operación:

$ L(f,g) = (Df, Dg) $

Pero para este operador para estar bien definido, debemos exigir que $L(h,k)$ es equivalente a $L(f,g)$. Esto significa que debemos tener

$Df/Dg = Dh/Dk$.

Esto no es siempre cierto. Supongamos que $(f,g) = (x, x^2)$ que es equivalente a $(h,k) = (1,x)$.

$Df/Dg = \frac{1}{2x} \neq 0 = Dh/Dk$

Así que el L'Hospital de operador está bien definido en las clases de equivalencia de pares de $(f,g)$ $g$ no constante con la relación de equivalencia:

$(f,g)$ equiv $(h,k) \Leftrightarrow fk = hg $$ Df Dk = Dh Dg $.