Si $gHg^{-1} \subset H$, debemos tener $g^{-1}Hg \subset H$?

Question

Deje $H$ ser un subgrupo de un grupo de $G$. Consideremos el conjunto a $\{g \in G: gHg^{-1} \subset H\}$. Debe este conjunto siempre ser parte de un grupo? Si $H$ fue un subgrupo finito, a continuación, $gHg^{-1} \subset H$ si y sólo si $gHg^{-1} = H$, por lo que la respuesta a la pregunta es sí. Pero lo que si $H$ es infinito?

En el caso de los infinitos $H$, la única cosa que no estoy seguro es si $g \in G$ tal que $gHg^{-1} \subset H$ debe $g^{-1}Hg \subset H$?

Answer 1

No es necesariamente cierto para los infinitos grupos. Contraejemplo:

Deje $G$ el grupo de permutaciones de $\mathbb Z$.

Deje $H$ ser el subgrupo que corrige todos los números negativos.

Deje $g$ mapa de $n\mapsto n+1$.

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Este ejemplo es continuo grande. Pero también se puede obtener un ejemplo de contables de tamaño mediante la restricción de $G$ (e $H$) a las permutaciones $\sigma$ donde existe $t\in\mathbb Z$ tal que $\sigma(n)=n+t$ para todos, pero un número finito de $n$.

Answer 2

Deje $G = {\rm GL}_2(\mathbf Q)$, el grupo de los invertible $2 \times 2$ matrices con rational entradas. Fijar un número entero $N > 1$. Dentro de $G$ es el subgrupo $H$ de las matrices de la forma $$ \left(\begin{array}{cc} N^{\mathbf Z} & {\mathbf Z}[1/N]\\0&1 \end{array} \right) = \left\{ \left(\begin{array}{cc} N^k & a/N^\ell\\0&1 \end{array} \right) : k \in \mathbf Z, \ell \in \mathbf Z_{\geq 0}, \in \mathbf Z \right\}. $$ Para cualquier matriz $g_x = (\begin{smallmatrix}x&0\\0&1\end{smallmatrix})$ donde $x \in \mathbf Q^\times$, tenemos $$ g_x\left(\begin{array}{cc}N^k&a/N^\ell\\0&1\end{array}\right)g_x^{-1} = \left(\begin{array}{cc}N^k&ax/N^\ell\\0&1\end{array}\right), $$ que tiene el efecto de simplemente multiplicando la parte superior derecha de la entrada de una matriz en la $H$$x$. Al $x$ es un número entero distinto de cero, vemos que $g_xHg_x^{-1} \subset H$. Pero si $x$ es el recíproco de un número entero que no es una potencia de $N$, $g_xHg_x^{-1} \not\subset H$ porque $(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix})$$H$, mientras que $g_x(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix})g_x^{-1} = (\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix})$ no lo es. Tomando $x = N+1$, por ejemplo, $g_xHg_x^{-1} \subset H$$g_x^{-1}Hg_x = g_{1/x}Hg_{1/x}^{-1} \not\subset H$.

(La respuesta a la pregunta de Qué $gHg^{-1}\subseteq H$ implican $gHg^{-1}= H$? da este ejemplo con $N = 2$, en la forma de un semidirect producto).