¿Por qué un argumento similar al 0,9

Question

Acepto que dos números pueden tener el mismo supremum dependiendo de cómo se genere una representación decimal. Así que $2.4999\ldots = 2.5$ etc.

¿Puede alguien indicarme recursos que expliquen lo que muestra el siguiente argumento $999\ldots = -1$ ¿se trata de?

Esta es la prueba más habitual que veo $0.999\ldots = 1$ :

$x=0.999\ldots$

$10x=9.999\ldots$

$10x - x = 9$

$x=1$

Utilizando esta misma plantilla de argumentos puedo mostrar $999\ldots=-1$ :

$x= \ldots9999.0 $

$0.1x= \ldots9999.9$

$0.1x - x = 0.9$

$x=-1$

¿Qué puede significar esto?

Edición de uno de los comentarios:

$$\sum_{k=0}^{\infty}{9 \cdot 10^k}=-1$$

Answer 1

Si quieres entender las matemáticas que hay detrás de estas cosas, todo se basa en las nociones de "convergencia" y de "límites". Si lees cualquier libro de texto de un primer curso de análisis, encontrarás el concepto rigurosamente tratado allí.

Básicamente este es el punto: Cada vez que escribes 0,999... estás escribiendo un número que representa el "límite" obtenido cuando una suma infinita $\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+...$ se realiza. Dado que podemos demostrar que esta suma "converge" a algún número real (concretamente a 1), está justificado tratar el número 0,999... como si representara algún número real.

Sin embargo, siempre que se escribe 999... supongo que se está escribiendo un número para representar el límite obtenido cuando una suma infinita $9+90+900+...$ se realiza. Dado que este límite no converge a ningún número real, ("diverge"), no está justificado tratar el número 999... como un número real cualquiera. Por lo tanto, no tiene sentido dividirlo por diez, o quitarlo de sí mismo.

Solemos denotar estos límites divergentes con el numeral $\infty$ pero esto no denota un número real, y no hay una forma consistente de definir operaciones como $\infty - \frac{1}{10}\infty$ .

Espero que esto te ayude y que te motive a pensar más en estas cosas :)

Answer 2

En el $10$ -número de radicales es cierto que $\dots 9999 = -1$ .

Más concretamente, la serie $\sum_{n=0}^{\infty} 9 \cdot 10^n$ converge en $\mathbb{Q}_{10}$ y su límite es $-1$ .

Answer 3

Como han señalado otros usuarios, no tiene sentido tener infinitos nueves a la izquierda del punto decimal. Esto se debe a que la secuencia $9, 99, 999, \ldots$ no converge a nada, a diferencia de la secuencia $0.9, 0.99, 0.999, \ldots$ que converge a $1$ .

Sin embargo, ha tocado algo interesante. ¿Existen sistemas numéricos en los que esto converge? Y si es así, ¿converge a $-1$ ? La respuesta a ambas es sí.

Para un número entero $k$ Hay un anillo llamado $k$ -número de radicales*. Utilicemos $k = 10$ . Es similar a los números reales regulares en base $k$ pero algunas cosas están al revés.

$$ \small{\begin{array}{c|c|c} & \textrm{Reals (base }k\textrm{)} & k\textrm{-adic numbers} \\ \hline \textrm{number of digits left of the point} & \textrm{finitely many} & \textrm{infinitely many} \\ \textrm{number of digits right of the point} & \textrm{infinitely many} & \textrm{finitely many} \\ \textrm{two numbers are close if} & \textrm{they match in the leftmost digits} & \textrm{they match in the rightmost digits} \end{array}} $$

Esa no es la forma en que a la gente le gusta construir el $k$ -adics, pero es más fácil que todo eso de "terminación wrt una métrica" o "límite inverso".

De todos modos, en este sistema, $9, 99, 99, \ldots$ tiene un límite, y es $\ldots 999.0$ . Y si se añade $1$ a eso, tienes la secuencia $10, 100, 1000, \ldots$ que converge a $0$ . Así que en ese sistema, $\ldots 999 = -1$ .

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*Suelen ser personas como $k$ para ser primo, por lo que lo llaman $p$ . Así que si quieres saber más, busca " $p$ -número de radicales", no " $k$ -número de radicales".

Answer 4

Una cosa que hay que pensar es cómo esto juega con la aritmética modular, si estás familiarizado. Básicamente, la aritmética mod $10^n$ es una aritmética en la que sólo nos importa el último $n$ dígitos de un número y se define escribiendo $a\equiv b\pmod{c}$ si y sólo si $a-b$ es un múltiplo de $c$ . Por lo tanto, si $c=10^n$ Esto es lo mismo que decir que el último $n$ dígitos de $a$ y $b$ coinciden. Tenemos una serie de igualdades expresadas como sigue: $$9\equiv -1\pmod{10}$$ $$99\equiv -1\pmod{100}$$ $$999\equiv -1\pmod{1000}$$ $$9999\equiv -1\pmod{1000}$$ $$99999\equiv -1\pmod{10000}$$ $$\underbrace{99\ldots 99}_{n\text{ times}}\equiv -1\pmod{10^n}$$ Todo esto es bastante fácil de demostrar: claramente, si se añade $1$ a $\underbrace{99\ldots 99}_{n\text{ times}}$ , se obtiene $1\underbrace{00\ldots 00}_{n\text{ times}}=10^n$ donde el último $n$ los dígitos son $0$ significado, mod $10^n$ esta suma es $0$ . Desde $-1$ se define más o menos como el número cuya suma con $1$ es $0$ La igualdad queda demostrada.

La identidad que tiene es, más o menos, lo que sucede cuando tomamos todas las identidades anteriores y enviamos $n$ hasta el infinito. Una forma precisa de hacerlo es decir que dos números $a$ y $b$ están cerca el uno del otro siempre que $a\equiv b\pmod{10^n}$ para grandes $n$ . Esto nos lleva a la $10$ -sin duda, como otros han sugerido.

Otra forma precisa que no implica análisis sería considerar que podemos considerar un "número" $x$ ser algo en lo que siempre podemos pedir el valor de $x\pmod {10^n}$ de manera coherente - básicamente, es una cadena de dígitos. Entonces, podemos definir la suma y la multiplicación de los "números" de forma coherente con sus truncamientos mod $10^n$ . Esto nos da de nuevo que la cadena infinita de $9$ 's es igual a $-1$ pero esta vez de forma algebraica. (Esto nos da la $10$ -enteros, que es un subconjunto de los $10$ -número de radicales. Para ser precisos, la construcción que uno puede usar para esto se llama límite inverso, que es un nombre que suena aterrador para una definición que parece aterradora)

Cabe destacar que su prueba, aunque no es una prueba de que $\ldots 999$ es algo sensato, es una prueba de que si se define de cualquier manera razonable (es decir, multiplicando por $10$ desplaza los dígitos y la sustracción funciona en función de los dígitos cuando no hay arrastre), es igual a $-1$ . Por lo tanto, esto se va a mantener en cualquier noción "razonable" de suma, así como en cualquier extensión "razonable" de nuestro sistema algebraico. Por ejemplo, otra respuesta utilizó un método en el que tomamos la suma como una serie de potencias $$9x+90x^2+900x^3+9000x^4+\ldots$$ y lo equiparó con $\frac{9}{1-10x}$ cerca de $x=0$ que es una función racional. Sin ni siquiera comprobarlo, su prueba nos dice que esta función es mejor que sea igual a $-1$ en $x=1$ ya que la suma por este método permite hacer todas las manipulaciones que se han utilizado.

Answer 5

Este argumento es similar al de $$ \sum_{n=1}^\infty n = -1/12 $$ que se hizo viral hace unos años. En realidad está utilizando métodos que fueron diseñados originalmente para manipular series absolutamente convergentes en series que no son convergentes en absoluto. Se ha hablado mucho y creo que nuestros amigos de numberphile son los que mejor lo pueden explicar:

• Introducción
• Aclaración
• Cómo asignar números a series no convergentes