Límite de la función compleja

Question

Estoy intentando encontrar el límite de:

$$ \frac{\operatorname{Re}(z) \operatorname{Im}(z)}{z^2}$$

como z tiende a cero.

Answer 1

No existe, ya que puede dar resultados diferentes dependiendo de la dirección. Por ejemplo, para el real $t$

$$ \lim_{t\to 0} \frac{\operatorname{Re}(t) \operatorname{Im}(t)}{t^2} = \lim_{t \to 0}\frac{t \cdot 0}{t^2} = 0 $$

pero

$$ \lim_{t\to 0} \frac{\operatorname{Re}(t + i t) \operatorname{Im}(t + i t)}{(t+)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{2 \, t^2} = \frac{-i}{2}. $$

Answer 2

Otro enfoque: el uso de coordenadas polares

$$z=re^{it}\,\,,\,0\leq t\leq 2\pi\Longrightarrow Re(z)=r\cos t\,\,,\,Im(z)=r\sin t\,\,,\,\text{and}\,\,\,z\to 0\Longleftrightarrow r\to 0 \Longrightarrow$$

$$\Longrightarrow \frac{Re(z)Im(z)}{z^2}=\frac{r^2\cos t\sin t}{r^2(\cos^2 t-\sin^2 t+2i\cos t\sin t)}=\frac{1}{2}\frac{\sin 2t}{\cos 2t+i\sin 2t}\xrightarrow [r\to 0]{} \text{doesn't exist}$$

como depende del ángulo de $\,t\,$