Encontrar todas las soluciones de la forma $y(x)= x^m \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n, \ x>0 (m \in \mathbb{R})$ de la ecuación diferencial $3x^2y''+5xy'+3xy=0$.
Eso es lo que he intentado:
Desde $x>0$ la ecuación diferencial puede escribirse como sigue.
$$y''+ \frac{5}{3x}y'+ \frac{1}{x}y=0$$
$$p(x)=\frac{5}{3x}, q(x)= \frac{1}{x}$$
El punto de $0$ es regular singular, es decir, las funciones $xp(x), x^2q(x)$ puede ser escrito como la potencia de la serie en una región de $0$.
Buscamos soluciones de la forma $y(x)=x^m \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ adecuado $m \in \mathbb{R}$ y para el adecuado $a_n \in \mathbb{R}$ $x \in (0,R)$ donde $R$ es un número positivo.
Entonces tenemos:
$$y'(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+m) x^{n+m-1} \\ \Rightarrow xy'=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+m) x^{n+m} \\ \Rightarrow 5xy'=\sum_{n=0}^{\infty} 5a_n (n+m) x^{n+m}$$
y
$$y''(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+m)(n+m-1) x^{n+m-2} \\ \Rightarrow x^2y''=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+m)(n+m-1) x^{n+m} \\ \Rightarrow 3x^2y''=\sum_{n=0}^{\infty} 3a_n (n+m)(n+m-1) x^{n+m}$$
$$3xy= \sum_{n=0}^{\infty} 3a_n x^{n+m+1}$$
Así que tiene que llevar a cabo las siguientes acciones:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \left[ 3a_n (n+m)(n+m-1) x^{n+m}+5a_n (n+m) x^{n+m}+ 3a_n x^{n+m+1}\right]=0 \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left[ 3a_n (n+m)(n+m-1) +5a_n (n+m) + 3a_n x\right]x^{n+m}=0 $$
Por lo que tiene que sostener que:
$$a_n=\frac{-3a_{n-1}}{3m+3n+2}, \forall n=1,2,3, \dots$$
EDIT: estoy mirando de nuevo al ejercicio. Para $m=0$ tengo las siguientes:
$$a_1=-\frac{3a_0}{5} \\ a_2=\frac{3^2 a_0}{5 \cdot 8} \\ a_3=-\frac{3^3 a_0}{5 \cdot 8 \cdot 11} \\ a-4= \frac{3^4 a_0}{5 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 14}$$
Así que no es de $m=0$ la fórmula general para $a_n$ el siguiente? $$$$
$$a_n=(-1)^n \frac{a_0}{\prod_{i=0}^{n-1} (3i+5)}$$
Y para $m=-\frac{3}{2}$ no es la fórmula para $a_n$ el siguiente?
$$a_n=(-1)^n \frac{3^n a_0}{ \prod_{i=0}^{n-1} \frac{(6i+1)}{2}}$$
Si es así, entonces podríamos decir lo siguiente?
$$y_1(x)= x^0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{\prod_{i=0}^{n-1}(3i+5)}$$
y
$$y_2(x)=x^{-\frac{3}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n}{ \prod_{i=0}^{n-1} \frac{(6i+1)}{2}}x^n$$
son soluciones de la ecuación diferencial para $a_0=1$.
$$\left| \frac{\frac{(-1)^{n+1} x^{n+1}}{\prod_{i=0}^n (3i+5)}}{\frac{(-1)^{n} x^n}{\prod_{i=0}^{n-1} (3i+5)}}\right|=\left| \frac{x}{3n+5}\right| \to 0<1$$
Qué podemos deducir de esto último que el radio de convergencia es $+\infty$. Si es así, ¿podemos continuar de la manera sig?
De manera similar se demuestra que el radio de convergencia de $y_2(x)$$+\infty$.
$$$$
$y_1, y_2$ son linealmente independientes en $(0,+\infty)$. Porque si $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$ $c_1y_1(x)+c_2y_2(x)=0 \forall x \in (0,+\infty)$ desde $c_1 y_1(x)+ c_2y_2(x)$ es una potencia de la serie con radio de convergencia $+\infty$ tenemos $0= c_1 y_1(x)+c_2y_2(x)= \sum_{n=0}^{\infty} d_n x^n$ algunos $d_n \in \mathbb{R}$ e lo $d_n=0 \forall n=0,1,2, \dots$
Sin embargo $d_0=c_1=0$$d_1=-\frac{3}{5} c_2=0 \Rightarrow c_2=0$.
Por lo tanto, la solución general de la ecuación de sincronización es:
$$y(x)=c_1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{\prod_{i=0}^{n-1}(3i+5)}+ c_2 x^{-\frac{3}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n}{ \prod_{i=0}^{n-1} \frac{(6i+1)}{2}}x^n, c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$
EDITAR: Me volvió a hacer los cálculos de $m=0$ y ahora tengo las siguientes: $$$$ Para $n=1$: $a_1=-\frac{3a_0}{1 \cdot 5}$
$$$$ Para $n=2$: $a_2=\frac{3^2 a_0}{2 \cdot 5 \cdot 8}$ $$$$ Para $n=3$: $a_3=-\frac{3^3 a_0}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11}$ $$$$ Para $n=4$: $a_4=\frac{3^4 a_0}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 14}$ $$$$
Son mi actual cálculos derecho o fueron a la anterior, ¿correcto?
$$$$ Si están en lo correcto ¿cómo podemos escribir la fórmula de $a_n$ sin el uso de la función Gamma?
EDIT:me vuelve a intentar de nuevo. No podríamos escribir la fórmula general para $a_n$ al $m=0$ como sigue? $$$$ $$a_n=\frac{(-1)^n a_0}{n! \prod_{i=1}^n (3i+2)}$$ O estoy equivocado?
También debería ser $m_2=-\frac{2}{3}$. O estoy equivocado?
Si es que como que no es la fórmula general para $a_n$ en este caso el siguiente?
$$a_n=(-1)^n \frac{a_0}{n! \prod_{i=0}^{n-2} (2 \cdot 2+3 \cdot i)}$$
O estoy equivocado?
