Computar las infinitas fracciones continuas

Question

Estoy buscando "trucos" usados para calcular infinitas fracciones continuas. Por ejemplo, $$1+ \cfrac {1}{1+ \cfrac {1}{1+ \cfrac {1}{ \ddots }}}$$ es la proporción áurea, ya que si la denotáramos por $x$ entonces tenemos $$x=1+ \frac {1}{x},$$ lo que simplifica a $$x^2-x-1=0$$

¿Existen otros ejemplos (diferentes/elegantes) de formas de calcular infinitas fracciones continuas?

Answer 1

Esta es una expansión del excelente comentario de @AndréNicolas. Si el c.f. se repite, entonces tu método funciona igual de bien. Toma la fracción $$ x= \frac1 {2+}\, \frac1 {1+}\, \frac1 {2+}\, \frac1 {1+ \cdots }\,, $$ en el que tienes $$ x= \frac1 {2+ \frac1 {1+x}}= \frac {1+x}{2+2x+1}\,, $$ que se puede resolver para obtener una cuadrática cuya única raíz positiva es $( \sqrt3 -1)/2$ . Si la repetición se hace después de un tiempo, es sólo un poco más complicado.

Answer 2

Estas fracciones continuas e infinitas pueden ser escritas de muchas maneras diferentes. $$ \frac {1}{1} ; \frac {1}{1+ \frac {1}{1}}; \frac {1}{1+ \frac {1}{1+ \frac {1}{1}}}; \frac {1}{1+ \frac {1}{1+ \frac {1}{1+ \frac {1}{1}}}} ... $$

como esto:

$$ \frac {1}{1} ; \frac {1}{2}; \frac {3}{2}; \frac {5}{3}; \frac {8}{5}; \frac {13}{8}; \frac {21}{13}... $$

hay una serie de Infinito: $$ \frac {13}{8} + \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {(-1)^{n+1}(2n + 1)!}{(n + 2)!n!(4)^{2n+3}}$$

el límite de esta secuencia es $ \phi = \frac {1 + \sqrt {5}}{2} = 1.680339887...$

también $ \phi = \frac {1 + \sqrt {5}}{2}$ es una raíz de $ \phi ^{2}- \phi -1=0$

Answer 3

Si defines $x_0=1$ , $x_1=1+ \frac {1}{1}=1+ \frac1 {x_0}$ , $x_2=1+ \frac {1}{1+ \frac {1}{1}}= 1+ \frac {1}{x_1}$ puedes expresar la fracción continua como el límite de la secuencia $x_{n+1}=1+ \frac {1}{x_n}$ .

Finalmente, este límite puede ser calculado como el punto fijo de la función $f(x)=1+ \frac {1}{x}$ es decir.., $$ x=1+ \frac1x\quad \Rightarrow x^2-x-1=0. $$ Por lo tanto, el límite es la solución (positiva) de esta ecuación, es decir, la proporción áurea $$ \Phi = \frac {1+ \sqrt5 }{2} $$

Como puede ver, es fácil extender este principio a un amplio conjunto de problemas similares.