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Una pregunta sobre fracciones continuas y Gauss mapa

Para $\alpha \in (0,1)$, escribir $\alpha$ como una continuación de la fracción como $\alpha=[a_1, a_2, \ldots]$ (tenga en cuenta que el implícito $0$th coeficiente de $a_0=0$ ha sido omitido), y deje $\frac{p_n}{q_n}$ $n$th convergente a $\alpha$. Si usted tiene $T$ el mapa de Gauss, $T(x) = \frac{1}{x}-\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor$ (que actúa en un continuo fracción por $T([a_1,a_2,\ldots]) = [a_2, a_3, \ldots])$, entonces el valor de $$\sum_{T^n x=x}\frac{1}{q_n^t},$$ se estima que para $t$ positivo y fija $n \in \mathbb{N}$?

Gracias.

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riza Puntos 170

He decidido poner mis comentarios juntos en una respuesta para algunos lectores puede obtener una idea de lo que la pregunta es acerca de, y ver el $n=1,2,3$ de los casos. También debo mencionar que esta pregunta temática parece relevante para el tema de la dinámica zeta funciones, aunque no conozco los detalles.

Ajuste de la simple continuación de la fracción de expansión $x=[a_1,a_2,\cdots]$, nos encontramos con que $T^nx=x$ significa

$$[a_1,a_2,a_3,\cdots]=[a_{n+1},a_{n+2},\cdots],$$

y, por tanto, la EPIFISIOLISIS es $a_1,\cdots,a_n$ que se repite una y otra vez por un punto fijo; tenga en cuenta el $a_i$s puede ser arbitraria enteros positivos para cada una de las $1\le i\le n$. Por lo tanto, tenemos

$$\zeta_n(t)=\sum_{T^nx=x}\frac{1}{q_n^t}=\sum_{k=1}^\infty\frac{f_n(k)}{k^t},$$

donde el $q_n$'s son funciones de la $x$'s y $c_n(k)$ cuenta el número de racionales en $(0,1)$ con denominador $k$ (en forma reducida) se puede expresar como $x=[a_1,\cdots,a_n]$. Al $n=1$, el único número racional $x=[a_1]=1/a_1$ con denominador $k$$1/k$, lo $c_n(k)=1$ $\zeta_1(t)=\zeta(t)$ es el familiar de Riemann zeta función. Al $n=2$, mirar las fracciones de la forma

$$[a,b]=\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{b}}=\frac{b}{ab+1}.$$

Nota: $\gcd(ab+1,b)=\gcd(1,b)=1$ por el algoritmo de Euclides, por lo que el numerador y el denominador como el representado no comparten factor común y el de arriba es en forma reducida. Por lo tanto

$$\zeta_2(t)=\sum_{k\ge2}\frac{1}{k^t}\sum_{ab+1=k}1=\sum_{k\ge2}\frac{\sigma_0(k-1)}{k^t}$$ where the divisor function $\sigma_(m)$ counts the number of positive integer divisors of $m$. For $n=3$ la situación se vuelve un poco más complicado; las fracciones aspecto

$$[a,b,c]=\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{b+\cfrac{1}{c}}}=\cfrac{1}{a+\cfrac{c}{bc+1}}=\frac{bc+1}{a+abc+c}.$$

Nota de nuevo $\gcd(a(bc+1)+c,bc+1)=\gcd(c,bc+1)=\gcd(c,1)=1$ por el algoritmo de Euclides y por lo tanto, esta es de nuevo en forma reducida como se muestra. Por lo tanto, obtenemos los coeficientes de

$$f_3(k)=\#\{1\le a,b,c\in\Bbb N: a+abc+c=k\}.$$

Hasta ahora yo no he tenido la suerte de obtener una forma cerrada para esto; he mirado en un par de sustituciones y en sistemas modulares $k\equiv \bar{a}$ mod $\bar{c}$, $\bar{c}$ mod $\bar{a}$, fue en vano. En cualquier caso, aunque probablemente hay una forma cerrada para $q_n$ como un polinomio en $a_1,\cdots,a_n$ no he mirado, la $f_n$ funciones que le corresponden a cada vez más complicado multivariable Diophantine ecuaciones que involucran más y más términos; no quiero ver de inmediato cualquier forma inteligente de hacer frente a todos los de la $f_n$'s simultáneamente.

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