¿Esta secuencia de polinomios tienen un límite?

Question

Considerar la secuencia de polinomios $p_n$ define de la siguiente manera: $p_n$ es el único polinomio de grado $2n+1$ satisfactorio

$$p_n(0) = 0$$ $$p_n(1) = 1$$ $$p_n^{(k)}(0) = p_n^{(k)}(1) = 0 \text{ for $k=1$ to $n$}$$

donde $p_n^{(k)}$ $k$th derivado de la $p_n$. Por ejemplo,

$$p_0(x)=x$$ $$p_1(x)=-2 x^3+3 x^2$$ $$p_2(x)=6 x^5-15 x^4+10 x^3$$ $$p_3(x)=-20 x^7+70 x^6-84 x^5+35 x^4$$ $$p_4(x)=70 x^9-315 x^8+540 x^7-420 x^6+126 x^5$$ $$p_5(x)=-252 x^{11}+1386 x^{10}-3080 x^9+3465 x^8-1980 x^7+462 x^6$$

Para dar algo de intuición, aquí es una película de dibujos animados de la parcela de $p_n$$n=0$$50$.

¿Cómo puedo determinar, con la prueba, $\lim_{n \to \infty} p_n(x)$ (si es que existe)? Nunca he trabajado con funciones definidas implícitamente en este camino antes, y no tengo idea de por dónde empezar.

Answer 1

Las funciones que se $f(-1)=-1,f(1)=1$ y todos los demás son derivados de cero son

$$C_n\int_0^x (1-t^2)^n dt$$

De ello se desprende que, pointwise, llegan constantes como $n\to\infty$ debido a que la mayor parte de $(1-t^2)^n$ se estrecha hacia la $x=0$.

El OP funciones son

$$D_n\int_0^x (t-t^2)^n \, dt$$

Deje $I_n=\int_0^1(t-t^2)^n \, dt=1/D_n$. Aplicar integración por partes, pero vamos a la integral de $1$ $t-1/2$ en lugar de $t$, el uso de la simetría entre las $0$$1$.

$$ \begin{align} & I_n=\left.(t-1/2)(t-t^2)^n\vphantom{\frac11}\right|_0^1-\int_0^1(t-1/2)n(t-t^2)^{n-1}(1-2t) \, dt\\ = {} & 0-n\int_0^1(-2t^2+2t-1/2)(t-t^2)^{n-1}dt\\ = {} & -2nI_n+n/2I_{n-1}\\[6pt] & (1+2n)I_n=(n/2)I_{n-1}\\[6pt] & (2n+1)D_{n-1}=(n/2)D_n\\[6pt] & (2n+1)(2n)D_{n-1}=n^2D_n \end{align} $$

Ahora David con la fórmula de la $D_n$ sigue por inducción.

Answer 2

@Michael ya ha encontrado un muy elegante respuesta, pero me gustaría aportar un enfoque alternativo que me encontré. Resulta que los polinomios $p_n$ son precisamente el grado $2n+1$ polinomio de Bernstein approximants de $u(x-1/2)$ donde $u$ es la unidad de función de paso (y $u(0) = 1/2$). Estos son bien conocidos para converger a la función original.