Evaluación de $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(1-x^3+x^5-x^8+x^{10}-x^{13}+\ldots\right)dx$

Question

Evaluación de $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(1-x^3+x^5-x^8+x^{10}-x^{13}+\ldots\right)dx$

$\bf{My\; try::}$ Podemos escribir $\displaystyle 1-x^3+x^5-x^8+x^{10}-x^{13}+\ldots$

$$\displaystyle (1-x^3)\cdot (1+x^5+x^{10}+\ldots ) = \frac{(1-x^3)(1)}{1-x^5}$$

Así que se puede escribir como $\displaystyle \frac{(1-x)(x^2+x+1)}{(1-x)(x^4+x^3+x^2+x+1)}$

Así que nuestra Integral Convertir en $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^2+x+1}{x^4+x^3+x^2+x+1}dx$

Ahora, ¿Cómo puedo solucionar, me Ayudan

Gracias

Answer 1

Sugerencia: $$ \begin{align}\displaystyle \int_{0}^{1}\left(1-x^3+x^5-x^8+x^{10}-x^{13}+\ldots\right)dx&= 1-{1\over4}+{1\over6}-{1\over9}+{1\over11}-{1\over14}+\ldots\\&= \sum_{k=0}^\infty{3\over(5k+1)(5k+4)}\end{align} $$

Answer 2

Aquí es un boceto de una manera que no utilice la función digamma.

Si empezamos con los favoritos(?) cambio de variable, $$ u=\frac{1}{x}-x, $$ entonces, nos encontramos con $$ \int_0^{+\infty}\frac{2+u^2}{5+5u^2+u^4}\,du-\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{4+u^2}(5+5u^2+u^4)}\,du $$ En la primera integral, es más fácil (que en el original) para hacer parcial fracción de descomposición. En la segunda integral, nos vamos a $$ t=\frac{u}{\sqrt{4+u^2}}, $$ que nos dará la integral $$ \int_0^1\frac{1-t^2}{5+10t^2+t^4}\,dt, $$ que también se puede hacer uso parcial de la fracción de descomposición (no olvide que debe venir con un signo menos). Os dejo el divertido cálculos para usted...

El resultado final (como ya se ha mencionado en varios lugares antes) resulta ser $$ \frac{\pi}{5}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}. $$ Probablemente hay más inteligente sustituciones, que conduce a una expresión más sencilla de integrar.

Answer 3

Para ampliar la respuesta publicada por @Arentino, tenemos

$$\begin{align} S&=3\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(5k+1)(5k+4)}\\\\ &=\frac34+\frac15\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k+1/5}-\frac{1}{k+4/5}\right)\\\\ &=\frac34+\frac15\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k+1/5}-\frac{1}{k}\right)+\frac15\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+4/5}\right)\\\\ &=\frac34+\frac15(\psi(9/5)-\psi(6/5)) \tag 1 \end{align}$$

El uso de la reflexión y de la recurrencia de las fórmulas de la función digamma en $(1)$ revela que

$$\begin{align} S&=\frac34+\frac15(\psi(9/5)-\psi(6/5))\\\\ &=\frac34+\frac15\left(\psi(4/5)+\frac54\right)-\frac15\left(\psi(1/5)+5\right)\\\\ &=\frac34+\frac15\left(\psi(4/5)-\psi(1/5)\right)+\left(\frac14-1\right)\\\\ &=\frac15 \pi \cot(\pi/5)\\\\\ &=\frac{\pi}{5}\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \end{align}$$

como era de esperar!!

Answer 4

$$\begin{eqnarray*}\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{5k+1}-\frac{1}{5k+4}\right)&=&\int_{0}^{1}\frac{1-x^3}{1-x^5}\,dx\\&=&\int_{0}^{1}\frac{1+\frac{1}{\sqrt{5}}}{2+(1-\sqrt{5})x+2x^2}\,dx+\int_{0}^{1}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{5}}}{2+(1+\sqrt{5})x+2x^2}\,dx\end{eqnarray*} $$ donde el último identidad proviene del teorema de los residuos.

Mediante la reflexión de la fórmula para el $\psi$ función, tenemos que la serie original es igual a: $$ \frac{1}{5}\left(\psi\left(\frac{4}{5}\right)-\psi\left(\frac{1}{5}\right)\right) =\frac{\pi}{5}\cot\frac{\pi}{5}.$$