¿Por qué la derivada de $x^2$ no $2x+1$ ?

Question

Si la derivada es el cambio de la función en cada paso, se podría expresar como

$$f(x)+f'(x)=f(x+1)$$

Por lo tanto, si $f(x)=c$

$$c+f'(x)=c \implies f'(x)=0$$

Esto también es correcto para $f(x)=cx$

$$cx+f'(x)=c(x+1) \implies f'(x)=c$$

Sin embargo, no funciona para $f(x)=x^2$

$$x^2+f'(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1 \implies f'(x)=2x+1$$

¿En qué me equivoco en mi razonamiento?

Answer 1

Confundes funciones discretas, es decir, funciones que sólo están definidas para los números enteros o naturales, con funciones continuas sobre los números reales.

La derivada de una función como $f(x)=x$ en todos los números reales NO se define como el cambio de la función en cada paso porque no existen los pasos.

Sin embargo, si sólo se consideran funciones discretas y realmente se llama derivada al incremento de la función en cada paso, se tiene razón cuando se dice que la derivada de $f(n)=n^2$ es $2n+1$ .

Answer 2

¿En qué te equivocas?

En su primera equidad:

$x^2 + f(x)=(x+1)^2$

No puedes suponer que cuando sumas una derivada vas a sumar una al argumento de la función...

Answer 3

Lo que se toma por un derivado es $$ \Delta_1f(x)=f(x+1)-f(x). $$ Del mismo modo, se puede definir algo análogo para diferentes tamaños de paso $h\neq0$ : $$ \Delta_hf(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. $$ La derivada se define como el límite de estos cocientes de diferencias como $h\to0$ : $$ f'(x)=\lim_{h\to0}\Delta_hf(x). $$ Consideremos su ejemplo concreto, $f(x)=x^2$ . Para ello podemos calcular que $\Delta_hf(x)=2x+h$ para que $\Delta_hf(x)\to2x$ como $h\to0$ . En resumen, el punto principal de esta respuesta es que normalmente $\Delta_1f(x)\neq f'(x)$ .

Answer 4

El ritmo del cambio es en sí mismo cambiante. Para pasar de $f(a)=a^2$ a $f(a+1)=a^2+(2a+1)$ Antes (más cerca de $x=a$ ) el $x^2$ función está cambiando más lentamente que cuando se acerca a $x=a+1$ . En general, la tasa media de cambio es $2a+1$ pero de forma instantánea, en $a$ la tasa de cambio es $2a$ , mientras que en $a+1$ la tasa de cambio es $2a+2$ .