Hay un nombre para (infinito) de los grupos de tal manera que cada no-trivial, adecuada subgrupo finito de índice (por ejemplo,$\mathbb{Z}$)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El único grupo con esta propiedad es la infinita grupo cíclico $\mathbb{Z}$.
Deje $G$ ser un infinito de grupo donde cada subgrupo no trivial tiene finita índice. A continuación, $G$ debe ser torsionfree, por lo $G$ contiene un subgrupo $H \cong \mathbb{Z}$ de índice finito. A continuación, $H$ contiene un subgrupo normal $N$ $G$ tal que $N \cong \mathbb{Z}$ $G/N$ es finito, por lo $G$ es finitely generado.
Deje $g_1, \ldots, g_n$ ser un conjunto de generadores para $G$, donde cada una de las $g_i \neq 1$. Ahora cada una de las $C_G(g_i)$ ha finito índice, por lo $\cap C_G(g_i) = Z(G)$ ha finito índice. Por el teorema de Schur, el colector de un subgrupo de $G$ es finito. Por ello, debe ser trivial y $G$ es abelian. Clasificación de finitely generado abelian grupos muestra que $G \cong \mathbb{Z}$.
