La diferencia entre pointwise la convergencia y la convergencia uniforme de secuencias funcionales

Question

$f_n$ converge pointwise a $f$ E si $∀ x ∈ E$ y $∀ \epsilon > 0$, $∃ N ∈ N$ de modo que $∀ n ≥ N$ tenemos $|fn(x) − f(x)| < \epsilon$.

$f_n$ converge uniformemente a $f$ E si $∀ \epsilon > 0$, $∃ N ∈ N$ de modo que $∀ n ≥ N$ tenemos $|fn(x) − f(x)| < \epsilon$ que tiene para todos los $x ∈ E$.

Sé que la diferencia en la definición, pointwise convergencia nos dice que para cada punto y cada epsilon, podemos encontrar una N (que depende de x y $\epsilon$)por lo que ... y la convergencia uniforme nos dice que para cada una de las $\epsilon$ podemos encontrar un número N (que depende sólo de$\epsilon$).t. ... .

Pero parece de nuevo a mí un poco borrosa. Puede alguien explicar la diferencia más 'profundo' o más 'filosófica'? O se puede ilustrar visualmente?

Answer 1

Mirar esto como un juego entre dos personas (en la práctica, esto no puede suceder, pero permitir que nuestra imaginación fluya). Cada juego en realidad es una "traducción" de la definición correspondiente.

Quieres demostrar pointwise convergencia. Vamos a hacer un juego para él.

• Paso 1. Usted eligió a algunos $x$ desde el dominio.
• Paso 2. El oponente elige algunos $\epsilon >0$.
• Paso 3. Intenta encontrar un $N\in\mathbb{N}$, que $\forall n\geq N$, $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$.

Reglas adicionales: los Pasos 2 y 3 se debe repetir hasta que su oponente está convencido de que para el particular $x$ recogió, lo $\epsilon$ dice usted, usted será capaz de encontrar un $N$. Usted será capaz de seleccionar otro $x$ desde el dominio, sólo después de haber convencido a su oponente. El juegos es más cuando hayas hecho esto por todos los $x$ en el dominio.

Como ya habrá notado, hay una exacta correspondencia entre la definición y el juego. Paso 1 corresponde a la unión de la variable $x$. Al $x$ toma un valor, este valor se convierte en fijo, por lo que podemos gama de más de $\epsilon$, que corresponde al Paso 2. Después de que un valor es elegido por $\epsilon$, este valor se mantiene fijo. En el Paso 3 usted encontrar la adecuada $N$ dentro del contexto de los ya elegidos los valores de $x$$\epsilon$. Esta es la razón por la pointwise convergencia $N$ depende tanto de $x$$\epsilon$.

Ahora, usted desea probar la convergencia uniforme. El juego aquí los cambios.

• Paso 1. Tu oponente elige una $\epsilon > 0$.
• Paso 2. Intenta encontrar un $N$ tal que $\forall n\geq N$, $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon, \forall x$.

La diferencia aquí es que usted no los revisa cada una de las $x$ por separado. Por el contrario, su rival le da un $\epsilon$ e las $N$, usted tiene que encontrar se refiere a todas las $x$ en el dominio, no sólo que recogió. Es como considerar el rango de $x$ todos a la vez. El juego termina cuando tu oponente está convencido de que encontrará un $N$, lo $\epsilon$ dice usted.

Answer 2

Veamos un ejemplo. Considerar la secuencia de las funciones $$ f_n(x) = \begin{cases} |x|-n &\text{if }x \in (-\infty,-n)\cup(n,\infty)\\ 0 &\text{if }x \in [-n,n]. \end{casos} $$

Gráfica de estas funciones. Sin pensar en las definiciones que se tienen de los diferentes tipos de convergencia, ¿crees que $f_n$ converge a alguna otra función? Si usted dijo "sí", entonces ¿cuál es su límite? $f(x) = 0$? Pero para cada una de las $M \geq 0$ aviso que, para cada una de las $n$, puedo encontrar una $x \in\mathbb{R}$ que $|f_n(x) - f(x)| > M$. (¿Ves un $x$ que trabaja? Intente $x = 2M + n$.) No se que parece un poco raro, si $\{f_n\}$ converge a $f$? En efecto, esto significa que puede definir una secuencia $\{x_n\}$ de los números reales tales que a $|f_n(x_n) - f(x) > M$ todos los $n$, y por lo tanto $\lim_{n\to\infty}f_n(x_n) \neq f(x)$ (si este límite existe en absoluto). (Peor aún, usted puede elegir $x_n$ de tal manera que $\lim_{n\to\infty}f(x_n) = \infty$. Voy a dejar esto a usted.)

Observe que $f_n \to f$ pointwise. (Probar).

Si estamos de acuerdo en que este es un comportamiento indeseable para secuencias convergentes de funciones, entonces ya sabes una de las muchas razones por las que necesitamos una definición más rigurosa de la convergencia $f_n \to f$: pointwise convergencia es demasiado débil una propiedad para ser útil cuando se habla de muchas de las propiedades de la función de las secuencias.

Esto es donde la convergencia uniforme entra en la imagen. Se puede ver que $\{f_n\}$ ¿ no convergen a $f$ uniforme? (Trate de probar este a partir de la definición.) Intuitivamente, la convergencia uniforme codifica la idea de que la totalidad de la función de $f_n$ converge a $f$ en el mismo tiempo (o a la misma velocidad), no sólo eso $f_n(x)$ se mueve hacia la $f(x)$ finalmente, en cada punto de $x$. Es un mundial de la propiedad de las funciones de $f_n$ $f$ (es decir, una declaración acerca de la $f_n$ que implica el comportamiento de $f_n$ en todo su dominio a la vez), no es un local de propiedad como trozos de convergencia (es decir, una propiedad, acerca de $f_n$ que es equivalente a las declaraciones que, individualmente, sólo se tendrá en cuenta pequeñas porciones del dominio de $f_n$ (en este caso, los individuos puntos)). De hecho, un buen ejercicio para usted sería la de mostrar que si $f_n, f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ por cada $n$, $f_n \to f$ uniformemente si y sólo si $\|f_n - f\|_\infty \to 0$ $n \to \infty$ donde $\|\cdot\|_\infty$ es el sup-norma definida para $g:D\to \mathbb{C}$ por

$$ \|g\|_\infty = \sup_{x \in D}|g(x)| $$

Para $\{f_n\}$ $f$ como en el ejemplo anterior, usted puede, de hecho, muestran que $\|f_n - f\|_\infty = \infty$ todos los $n$ (véase el paréntesis acerca de $\lim_{n\to\infty}f(x_n)$ anterior), lo que le da una segunda manera de probar que $f_n$ no converge uniformemente a $f$.

Espero que esto aclara los conceptos de algunos. Me gustaría recomendar encarecidamente tratando diferentes ejemplos (tanto de un libro de texto y los que construyen su propio). Muy bien, buenos ejercicios no son terribles para venir para arriba con en su propia para este concepto; siempre que usted sabe $f_n \to f$ pointwise, siempre se puede preguntar si es o no $f_n \to f$ uniformemente, así.