Fieles caracteres de grupos finitos

Question

Relativa a la anterior pregunta que yo estoy pidiendo, además, una prueba de para los siguientes:

Pregunta 1: Si $\chi$ es un fiel irreductible carácter de un finito grupo $G$ entonces el carácter regular de $G$ es un polinomio con coeficientes enteros en $\chi$?

Sé que este hecho es cierto, ya que hay una generalización de la misma para Álgebras de Hopf en el Corolario 19 del papel FSU96-08 de aquí.

La prueba de que el papel es un poco complicado el uso de algunos (a pesar de primaria) los resultados acerca de las normas del interior y productos.

Me preguntaba si alguien sabe de un diferente prueba de ello.

El uso de la Stone - Weierstrass método mencionado en el anterior pregunta, estoy pidiendo más si se cumple lo siguiente:

Pregunta 2: Si $\chi$ es un fiel irreductible carácter de un finito grupo $G$ lo hace cualquier personaje de $G$ es un polinomio complejo en $\chi$?

Answer 1

He aquí una breve prueba de la versión más débil de la declaración de la Pregunta 1 (dando un polinomio con coeficientes racionales). Vamos a pensar en los personajes como de las funciones de las clases conjugacy. A continuación,$\chi(1)=n={\rm dim}(V)$, e $\chi(g)$ $g\ne 1$ tiene menor valor absoluto de $n$ (ya que la representación es fiel y valores propios de a $g$ $\chi$ son raíces de 1). En particular, $\chi(g)\ne n$. Ahora, sea P el polinomio de interpolación de tal que $P(n)=|G|$ $P(x)=0$ para cualquier otro valor de $x$$\chi$. A continuación, $P(\chi)$ es el carácter regular, y es fácil ver que $P$ ha racional de los coeficientes.

Sin embargo, no parece ser un contraejemplo a la declaración de que $P$ puede ser elegido tener coeficientes enteros. Es decir, tomar $G=A_5$, e $\chi$ a los 5 dimensiones de carácter. Sus valores son bien conocidos por ser $5,0,1,-1$, así que podemos aprovechar $P_0=(x^3-x)/2$, y cualquier otro polinomio que las obras será de la forma $P=P_0Q$ donde $Q$ es otro polinomio (como $P$ debe desaparecer en $0,1,-1$). Si $P$ tiene coeficientes enteros, entonces $Q/2=P/(x^3-x)$ debe tener coeficientes enteros, por lo que los valores de $Q$ a los enteros son incluso. Por otro lado, debemos tener $Q(5)=1$, contradicción.

Answer 2

Puse una respuesta (debido a Blichfeldt, no a mí) a la esencia de esta pregunta en su pregunta anterior. Para abordar el problema planteado por Richard Stanley, un resultado de lo que sé en esta dirección es, por John Thompson: si $\chi$ es una irreductible el carácter de un grupo finito $G$, entonces hay más de $|G|/3$ elementos en los que el valor que toma la $\chi$ es cero o una raíz de la unidad.

Answer 3

Supongo que por "fieles irreductible carácter", lo que significa que el carácter de los fieles (es decir, trivial núcleo irreductible de la representación. En este caso, la respuesta a la Pregunta 2 es negativo. Por ejemplo, el carácter irreductible $\chi$ del grupo simétrico $S_4$ indexados por la partición (3,1) es fiel y tiene el mismo valor en dos diferentes clases conjugacy de $S_4$, por lo que el mismo puede decirse de cualquier complejo polinomio en $\chi$.