Deje $n > 1$ ser un número entero. A continuación,$2^n - 1\nmid 3^n - 1$. No sé cómo demostrarlo. ¿Alguien puede ayudarme, por favor?
En general, para un entero positivo fijo $a > 1$, $a^n - 1|(a +1)^n - 1$ cualquier entero soluciones?
Respuestas
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Zander
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8843
Como @AQP dijo, si $n$ es incluso, a continuación,$3\mid 2^n-1$$2^n-1\nmid 3^n-1$.
Si $n=2k-1$ entonces $2^n-1 \equiv 1 \pmod{3}$ $2^n-1$ es un residuo cuadrático módulo 3.
$3(3^n-1)=3^{2k}-3$ $2^n-1 \mid 3^n-1$ , sería necesario que $3^{2k}\equiv 3 \pmod{2^n-1} $, es decir, que el 3 es una ecuación cuadrática de residuos de mod $2^n-1$.
Pero $2^n-1\equiv 3 \pmod{4}$, por lo que es divisible por un número impar de números primos $p\equiv 3\pmod{4}$. Por la reciprocidad cuadrática 3 no puede ser una ecuación cuadrática de residuos de mod $2^n-1$, por lo tanto $2^n-1\nmid 3^n-1$.
Oli
Puntos
89
La idea de utilizar a continuación es muy cercana a la utilizada por @Zander. No será una sorpresa para aquellos que han visto mis otros posts que los detalles tomar más tiempo.
Si $n$ es incluso, a continuación, $2^n-1$ es divisible por $3$, lo $2^n-1$ no se puede dividir $3^n-1$ si $n=0$.
Así que vamos a $n>1$ ser impar. Deje $p$ ser un primo que divide a $2^n-1$. Entonces a partir de la $2^n \equiv 1 \pmod{p}$, la orden de $2$ modulo $p$ es impar, por lo $2$ es un residuo cuadrático de $p$. Si además $2^n-1$ divide $3^n-1$,$3^n \equiv 1 \pmod {p}$, y por lo tanto $3$ también es un residuo cuadrático de $p$.
El número de $2$ es un residuo cuadrático de la extraña prime $p$ fib $p\equiv \pm 1 \pmod{8}$. Por lo $p$ debe ser de la forma $24k+1$, $24k+7$, $24k+17$, o $24k+23$. Pero por la Reciprocidad Cuadrática, $3$ es un no residuo de $p$ si $p$ es de la forma $24k+7$ o $24k+17$. Por lo tanto es suficiente para demostrar que si $n$ es impar, entonces $2^n-1$ tiene al menos un factor primo de la forma $24k+7$ o $24k+17$.
Para ello, nos muestran que no todos los números primos en la factorización prima de $2^n-1$ puede ser de formas de $24k+1$ y/o $24k+23$. Supongamos que al contrario, que son todos ellos. Vamos a obtener una contradicción.
Tenga en cuenta que $24k+1$ es congruente a $1$ modulo ambos $3$$8$, mientras que $24k+23$ es congruente a $-1$ modulo ambos $3$$8$. Desde $2^n-1$ forma $8s-1$, su factorización prima debe tener un número impar de veces (no necesariamente distintos) de los números primos de la forma $24k+23$. Pero eso implica que $2^n-1\equiv -1 \pmod 3$, que no es el caso cuando se $n$ es impar.
