Pregunta en relación con el uso del teorema de los residuos en un caso específico

Question

Estoy mirando la solución de un ejercicio de un curso que estoy tomando y hay algo que simplemente no entienden. Deje $f(z)=\pi\cot(\pi z)$ y $\varphi(z) = \frac{1}{z^2}$. $f$ tiene polos de orden $1$ en los puntos de $k\in\mathbb{Z}$ $\varphi$ tiene un polo de orden $2$$0$. Ahora en la solución de los ejercicios está escrito que a partir de los residuos teorema de la siguiente se tiene:

$$\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma f\cdot\varphi \, dz=\operatorname{Res} (f\varphi,0) + \sum\varphi(k)\operatorname{Res}(f,k)$$

donde $\gamma$ es una simple orientación positiva cerca de la curva y la suma se extiende sobre los valores de $k\in\mathbb{Z}$ contenida en el interior de $\gamma$. Ahora la forma estándar del teorema sería:

$$\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma f\cdot\varphi \, dz = \sum \operatorname{Res} (f\cdot\varphi,k)$$

Así que por alguna razón para $k\neq0$ sostiene que $\operatorname{Res}(\varphi f,k) = \varphi(k) \operatorname{Res} (f,k)$, ¿por qué?

Es más cierto en general que si $f,g$ son funciones tales que $z_0$ es una singularidad de $f$, pero no de $g$$\operatorname{Res}(f\cdot g,z_0) = g (z_0) \cdot \operatorname{Res} (f,z_0)$. Es tal vez necesario asumir que $z_0$ no es un cero de $g$ para que esto sea cierto?

Ayuda sería apreciada.

Answer 1

Así que por alguna razón para $k\neq0$ sostiene que $\operatorname{Res}\left(\varphi f,k\right)=\varphi\left(k\right)\mbox{Res}\left(f,k\right)$, ¿por qué?

Eso es porque la $\varphi$ es holomorphic en $k \neq 0$, e $f$ tiene un simple polo en $k$.

Así que podemos escribir la $f(z) = (z-k)^{-1}\cdot h(z)$ $h$ holomorphic y distinto de cero en un barrio de $k$, e $\operatorname{Res} \left(f;k\right) = h(k)$.

La multiplicación de que con $\varphi$ da

$$\varphi(z)f(z) = (z-k)^{-1}\left(\varphi(z)h(z)\right),$$

y si $\varphi(k) = 0$ (nuestra particular $\varphi$ por supuesto no tiene ceros), luego de que la singularidad de $\varphi\cdot f$ $k$ es extraíble, por lo tanto el residuo es $0 = \varphi(k)\cdot h(k)$, lo que es correcto, y si $\varphi(k) \neq 0$, el residuo en $k$ es (también) $\varphi(k)\cdot h(k)$.

Esta simple fórmula, sin embargo, mantiene sólo por simple polos [accidentalmente coinciden con el residuo también en otros casos, pero que la coincidencia].

Si nos fijamos en las Laurent de expansión alrededor de una singularidad, cuando la singularidad es un simple polo, sólo el coeficiente de $(z-\zeta)^{-1}$ del factor singular y el coeficiente constante de la holomorphic factor de contribuir.

Si la singularidad es un polo de orden superior, o una singularidad esencial, todos los pares de los coeficientes de cuyos exponentes suma a $-1$ contribuir, y estos son entonces más de un par.

Answer 2

Si $g$ es holomorphic en algún punto de $z_0$ $f$ tiene una simple poste de $z_0$$\text{Res}_{z_0}(gf) = g(z_0)\text{Res}_{z_0}(f)$. Esto es fácil ver por mirar el Laurent expansiones.

No es cierto si $f$ tiene un polo de mayor grado, por ejemplo, $1/z = z \times 1/z^2$ ha nonvanishing residuo en $0$ pero $1/z^2$ tiene fuga de residuos. También hay ejemplos donde $g$ es nonvanishing, por ejemplo, $(1+z)/z^2 = $ ha nonvanishing residuo, sino $1/z^2$ tiene fuga de residuos, aunque $1+z$ no se desvanecen en $0$.