¿Existe una prueba sencilla de Borsuk-Ulam, dado Brouwer?

Question

(Brouwer) Toda función continua desde un subconjunto compacto convexo K de un espacio euclidiano hacia sí misma tiene un punto fijo.

Dado este lema, ¿hay una prueba sencilla de:

(Borsuk-Ulam) Cualquier función continua $f \, : \, S^n \to R^n$ (donde $S^n$ es el $n$ -) tiene un punto $x$ para lo cual $f(x) = f(-x)$ .

?

Answer 1

Parece que Borsuk-Ulam es estrictamente más difícil que Brouwer. Cita de Uso del teorema de Borsuk-Ulam : Conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría :

"Es instructivo comparar esto con el teorema del punto fijo de Brouwer (...). El enunciado del teorema de Borsuk-Ulam parece similar (y, de hecho, implica fácilmente el teorema de Brouwer; véase más adelante). Pero implica un ingrediente extra además de la topología de los espacios considerados: una cierta simetría de estos espacios, a saber, la simetría dada por el mapeo $x \mapsto −x$ (que a menudo se llama la antipodalidad en $S^n$ y en $\Bbb R^n$ )."

La fuerza exacta de Brouwer es conocida: es equivalente a WKL $_0$ sobre RCA $_0$ (Simpson, Subsistemas de aritmética de segundo orden ) pero Borsuk-Ulam no aparece en el índice de Subsistemas...

ACTUALIZACIÓN: una prueba "elemental" de Borsuk-Ulam .

Answer 2

Esto no responde completamente a la pregunta, sino que es un caso muy especial.

Dejemos que $S_+^n$ sea el hemisferio superior (cerrado) de $S^n$ y $S_-^n$ el hemisferio inferior. Supongamos que nuestro mapa $f:S^n\to\mathbb R^n$ además de ser continua, también tiene las propiedades

• $f(S^n_+) = f(S^n_-) = B^n$ ,
• la restricción $f_-:S^n_-\to B^n$ es un homeomorfismo.

(Aquí $f_-:S_-^n\to B^n$ se define por $f_-(x)=f(x)$ . Definir $f_+:S_+^n\to B^n$ análogamente).

A continuación, defina el mapa antipodal $\phi:S^n_-\to S^n_+$ por $\phi(x)=-x$ . Esto nos da un mapa continuo bien definido $f_+\circ\phi\circ f_-^{-1}:B^n\to B^n$ que tiene un punto fijo por el teorema de Brouwer. Más concretamente, esto significa que existe un $x\in B^n$ tal que $$f(\phi(f_-^{-1}(x)))=x=f(f_-^{-1}(x)).$$ Escribir $y = f_-^{-1}(x)$ Esto significa precisamente que $f(-y)=f(y)$ demostrando Borsuk-Ulam en este caso especial.

Si alguien ve una forma de generalizar esto, me interesaría saberlo.