No sé la respuesta, en general, pero si $g$ es holomorphic en $D$$f(z)=\overline z$,$\sup\{|f(z)-g(z)|:z\in D\}\geq 1$, y este límite inferior se logra cuando la $g=0$. Para ver esto, observe que $\int\limits_{|z|=1}g(z)dz = 0$, e $\int\limits_{|z|=1}f(z)dz=2\pi i$. Así
$$2\pi =\left|\int_{|z|=1}(f(z)-g(z))dz\right|\leq \int_{|z|=1}|f(z)-g(z)||dz|\leq 2\pi \,\sup\{|f(z)-g(z)|:|z|=1\}.$$
Esto le da a $\sup\{|f(z)-g(z)|:z\in D\}\geq\sup\{|f(z)-g(z)|:|z|=1\}\geq 1$ como se reivindica.
Similar límites inferiores se puede dar en algunos casos, el uso del cero los coeficientes de Fourier de $f$ con índice negativo, pero no suele ser agudo (y tal coeficientes de Fourier puede no existir; véase el añadido de comentarios a continuación). Si $\int\limits_{|z|=1}z^kf(z)dz=a\neq 0$ algunos $k\geq 0$ e si $h$ es holomorphic, entonces
$$|a|=\left|\int_{|z|=1}(z^kf(z)-h(z))dz\right|\leq \int_{|z|=1}|z^kf(z)-h(z)||dz|\leq 2\pi \,\sup\{|z^kf(z)-h(z)|:|z|=1\}.$$ So if we take $h(z)=z^k g(z)$ for some holomorphic function $g$, this implies that $\sup\{|f(z)-g(z)|:|z|=1\}\geq\frac{|a|a}{2\pi}$.
Agregado: he quitado una incorrecta comentario al final de mi respuesta, que fue hecho en parte porque yo estaba confuso aproximación en el disco con aproximación en el círculo. Tenga en cuenta que existen nonanalytic $f$ tal que $\int_{|z|=1}z^kf(z)dz= 0$ todos los $k$; por ejemplo, usted podría tener un valor distinto de cero continuo (real incluso analítica) $f$ tal que $f|_{\partial D}\equiv 0$. El ejemplo $f(z)=1-|z|^2$ es uno que, incluso, es constante en todos los círculos con centro en el $0$. En general, usted puede obtener los límites inferiores por la búsqueda de una curva cerrada en $D$ en el que la integral de $f$ es distinto de cero, pero no sé lo útil que es en la práctica.
