Trunca alternando binomio suma

Question

Es fácil comprobar que $\displaystyle\sum_{i\ =\ 0}^{n}\left(\, -1\,\right)^{i} \binom{n}{i} = 0$, por ejemplo, apelando al teorema del binomio.

Estoy tratando de averiguar lo que sucede con la suma truncado $\displaystyle\sum_{i\ =\ 0}^{D}\left(\, -1\,\right)^{i}\binom{n}{i}$.
A qué distancia de la $0$ puede hacerlo, como una función de la $D$ ?.


Estoy principalmente interesado en el caso de al $D \ll n$, como $D \sim \,\sqrt{\,n\,}\,$.

Gracias !

Answer 1

Deje $n\ge 2\in\mathbb N$ (desde el caso de $n=1$ es trivial).

Para $0\le D\lt n$, podemos probar el siguiente por inducción: $$\sum_{i=0}^{D}(-1)^i\binom{n}{i}=(-1)^D\binom{n-1}{D}.$$

Para $D=0$, se tiene trivialmente.

Para un $D$ tal que $0\le D\le n-2$, supongamos que se tiene. A continuación, $$\begin{align}\sum_{i=0}^{D+1}(-1)^i\binom{n}{i}&=(-1)^{D+1}\binom{n}{D+1}+\sum_{i=0}^{D}(-1)^i\binom{n}{i}\\&=(-1)^{D+1}\binom{n}{D+1}+(-1)^D\binom{n-1}{D}\\&=(-1)^{D+1}\left\{\binom{n}{D+1}-\binom{n-1}{D}\right\}\\&=(-1)^{D+1}\binom{n-1}{D+1}\end{align}$$ Por lo tanto, se mantiene cuando $D+1$.

Por lo tanto, se cumple para cualquier $0\le D\lt n$. Q. E. D.

A partir de esto, también podrá ver cómo lejos de $0$ se puede conseguir.

Answer 2

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$\begin{align} &\color{#66f}{\large\sum_{k = 0}^{D}\pars{-1}^{k}{n \choose k}} =\sum_{k = 0}^{D}\pars{-1}^{k}\ \overbrace{\oint_{0\ <\ \verts{z}\ =\ a\ <\ 1} {\pars{1 + z}^{n} \over z^{k + 1}}\,{\dd z \over 2\pi\ic}} ^{\ds{=\ {n \choose k}}} \\[3mm]&=\oint_{0\ <\ \verts{z}\ =\ a\ <\ 1}{\pars{1 + z}^{n} \over z} \sum_{k = 0}^{D}\pars{-\,{1 \over z}}^{k}\,{\dd z \over 2\pi\ic} =\oint_{0\ <\ \verts{z}\ =\ a\ <\ 1}{\pars{1 + z}^{n} \over z} {\pars{-1/z}^{D} + z \over 1 + z}\,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[3mm]&=\pars{-1}^{D}\ \underbrace{\oint_{\verts{z}\ =\ a\ <\ 1} {\pars{1 + z}^{n - 1} \over z^{D + 1}}\,{\dd z \over 2\pi\ic}} _{\ds{=\ {n - 1 \choose D}}}\ +\ \underbrace{\oint_{0\ <\ \verts{z}\ =\ a\ <\ 1}\pars{1 + z}^{n - 1} \,{\dd z \over 2\pi\ic}}_{\ds{=\ 0}} \\[3mm]&=\color{#66f}{\large\pars{-1}^{D}{n - 1 \choose D}} \end{align}

Answer 3

Utilice el siguiente:

$$ (1-x)^{n-1} = (1-x)^n \times \frac{1}{1-x} = (1-x)^n (1 + x + x^2 + \dots) =$$ $$\left(1 + n(-x) + \binom{n}{2}(-x)^2 + \dots + (-x)^n\right)(1+x+x^2 + \dots) $$

Ahora, mutiplying cualquier polinomio (o de alimentación de la serie) por $1 + x + x^2 + \dots$ tiene el efecto de dar a la truncado suma de los coeficientes del polinomio, como los coeficientes de las potencias de $x$ en la potencia resultante de la serie.

En su caso, el resultante de la serie en sí es un polinomio, $(1-x)^{n-1}$, dando una cuidada cerrado el formulario de respuesta.

Answer 4

En primer lugar, vamos a escribir $$\sum_{i=0}^{D} (-1)^i \binom{n}{i}=\sum_{i=0}^D \binom{i-n-1}{i}$$ Este paso puede ser comprobada mediante el uso de la definición de coeficiente binomial, y tirar de la $-1$ de cada término.

Siguiente, $$\sum_{i=0}^D \binom{i-n-1}{i}=\binom{D-n}{D}$$ puede ser probado de forma inductiva.

Y finalmente, esto puede ser simplificado mediante el mismo resultado en el primer paso. $$\binom{D-n}{D}=(-1)^D\binom{n-1}{D}$$