Como parte de un ejercicio Que me ayudaría si pudiera demostrar formalmente que el conjunto $\{ (x,y) \in R^2 \mid x^2 + y^2 -2x + 4y - 11 = 0 \}$ es cerrado y acotado.
Trazado con un software puedo ver esto de inmediato, pero yo soy poco dudoso en una prueba formal, alguna ayuda?
Ya que la función $f(x,y) = x^2 + y^2 -2x + 4y - 11$ es continua, de la siguiente manera que $f^{-1}(\{0\})$ es cerrado.
Desde $ \lim_{\|(x,y)\| \to \infty} f(x,y) = \infty$, vemos que el conjunto debe estar acotada.
Para ver por qué esto implica que el conjunto es acotado, tenga en cuenta que podemos encontrar algunos $R$ que si $\|(x,y)\| > R$,$f(x,y) > 1$. Por lo tanto el conjunto $\{(x,y) \mid f(x,y) \le 1 \}$ está contenido en $\{(x,y) \mid \|(x,y)\| \le R \}$.
Como has visto, es un círculo con ciertas centro $x_0=(1,-2)$ radio y $r=4$.
Para el boundness, muestran que, cada punto en su conjunto tiene una longitud $<7\sqrt{2}$.
Por la cercanía, muestran que el complemento es abierto (usted sólo tiene que seguir la geometría de su conjunto).
Puede usted continuar?
Editar
$\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+y^2}&=&\sqrt{(x-1+1)^2+(y+2-2)^2}\\ &=&\sqrt{(x-1)^2+2(x-1)+1+(y+2)^2-4(y+2)+4}\\ &=&\sqrt{16+2(x-1)-4(y+2)+5}\\ &=&\sqrt{21+2x-2-4y-8}\\ &=&\sqrt{11+2x-4y} \end{eqnarray}$
Recientemente, puede usted continuar?
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