Cómo encontrar la espera de la distancia entre dos puntos uniformemente distribuidos?

Question

Si tuviera que definir las coordenadas $(X_{1},Y_{1})$ $(X_{2},Y_{2})$ donde

$$X_{1},X_{2} \sim \text{Unif}(0,30)\text{ and }Y_{1},Y_{2} \sim \text{Unif}(0,40).$$

¿Cómo puedo encontrar el valor esperado de la distancia entre ellos?

Estaba pensando, ya que la distancia es calculada por $\sqrt{(X_{1}-X_{2})^{2} + (Y_{1}-Y_{2})^{2}})$ el valor esperado acaba de ser $(1/30 + 1/30)^2 + (1/40+1/40)^2$?

Answer 1

Es claro, de mirar la cuestión geométricamente, que la espera de la distancia entre dos independientes, uniforme, puntos al azar dentro de un conjunto convexo va a ser un poco menos de la mitad de su diámetro. (Debe ser menor debido a que es relativamente raro que los dos puntos se encuentra dentro de zonas extremas, como las esquinas y más a menudo el caso de que estará cerca del centro, donde están cerca.) Dado que el diámetro de este rectángulo es $50$, por este razonamiento solo esperamos que la respuesta sea un poco menos de $25$.

Una respuesta exacta se obtiene a partir de la definición de las expectativas como la de la probabilidad ponderada del valor de la distancia. En general, considere la posibilidad de un rectángulo de lados a$1$$\lambda$; vamos a escala hasta el tamaño correcto después (mediante el establecimiento $\lambda = 40/30$ y multiplicando la expectativa por $30$). Para este rectángulo, el uso de coordenadas $(x,y)$, el uniforme de densidad de probabilidad es $\frac{1}{\lambda}dx dy$. La distancia media dentro de este rectángulo, a continuación, está dada por

$$\int_0^\lambda\int_0^1\int_0^\lambda\int_0^1 \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \frac{1}{\lambda}dx_1 dy_1 \frac{1}{\lambda} dx_2 dy_2.$$

El uso de primaria de los métodos de integración esta es sencilla pero dolorosa hacer; no emplea un sistema de álgebra computacional (Mathematica) para obtener la respuesta

$$[2+2 \lambda ^5-2 \sqrt{1+\lambda ^2}+6 \lambda ^2 \sqrt{1+\lambda ^2}-2 \lambda ^4 \sqrt{1+\lambda ^2} +5 \lambda \text{ArcSinh}(\lambda)+5 \lambda ^4 \log\left(\frac{1+\sqrt{1+\lambda ^2}}{\lambda }\right)]/(30\lambda^2).$$

La presencia de $\sqrt{1+\lambda^2}$ en muchos de estos términos no es ninguna sorpresa: es el diámetro del rectángulo (la máxima distancia posible entre dos puntos cualesquiera dentro de ella). La aparición de los logaritmos (que incluye la arcsinh) es también sorprendente si alguna vez has investigado el promedio de las distancias dentro de simples figuras planas: de alguna manera siempre se muestra (una pista de esto aparece en la integral de la función secante). Por cierto, la presencia de $30$ en el denominador no tiene nada que ver con los detalles del problema que implica un rectángulo de lados a$30$$40$: es una constante universal.)

Con $\lambda=4/3$ y escalado por un factor de $30$, esto se evalúa a $\frac{1}{108} (871+960 \log(2)+405 \log(3)) \approx 18.345919\ldots$.

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Una manera de entender la situación más profundamente es la trama de la media de la distancia relativa al diámetro de $\sqrt{1+\lambda^2}$ para diferentes valores de $\lambda$. Para los valores extremos (cerca de $0$ o mucho mayor que la de $1$), el rectángulo se convierte esencialmente unidimensional y una mayor integración de primaria indica la distancia media debe reducir a un tercio del diámetro. También, porque las formas de rectángulos con $\lambda$ $1/\lambda$ son los mismos, es natural de la parcela el resultado en un logarítmica de la escala de la $\lambda$, donde debe ser simétrico con respecto al $\lambda=1$ (el cuadrado). Aquí está:

Con esto podemos aprender una regla de oro: la distancia media dentro de un rectángulo es de entre $1/3 \approx 0.33$ y (aproximadamente) $0.37$ de su diámetro, con el mayor de los valores asociados con squarish rectángulos y el más pequeño de los valores asociados con alargados (lineal) rectángulos. El punto medio entre estos dos extremos se logra aproximadamente rectángulos con las proporciones de aspecto de $3:1$. Con esta regla en mente, usted puede apenas vista en un rectángulo y calcular su distancia media a dos cifras significativas.

Answer 2

##problem
x <- runif(1000000,0,30)
y <- runif(1000000,0,40)
Uniform <- as.data.frame(cbind(x,y))
n <- nrow(Uniform)
catch <- rep(NA,n)
for (i in 2:n) {
      catch[i] <-((x[i+1]-x[i])^2 + (y[i+1]-y[i])^2)^.5
}
mean(catch, na.rm=TRUE)
18.35855

Si entiendo correctamente lo que usted está buscando, tal vez te sea de ayuda. Usted está tratando de averiguar la distancia entre dos puntos al azar, que los valores de X son generados a partir de unif(0,30) y los valores de Y son generados a partir de un unif (0,40). Acabo de crear un millón de RV de cada una de esas a la distribución y, a continuación, vinculado a la x y la y para crear un punto para cada uno de ellos. A continuación, he calculado la distancia entre el punto 2 y 1 todo el camino a la distancia entre los puntos de 1.000.000 y 999,999. La distancia promedio fue 18.35855. Déjame saber si esto no es lo que estabas buscando.