$D^m\cup_h D^m$, unirse a $D^m \amalg D^m$ a lo largo de la frontera $\partial D^m$

Question

Dada una orientación-la preservación de diffeomorphism $h: \partial D^m \to \partial D^m$, se puede pegar dos copias de la cerrada de la unidad de disco $D^m$ a lo largo de la frontera mediante la identificación de $x \sim h(x)$ para formar el cociente del espacio $$\Sigma(h) := (D^m \amalg D^m)/\sim$$ Ahora podemos dar a este cociente de una suave estructura tal que el obvio inclusiones $D^m \hookrightarrow \Sigma(h)$ son lisas, incrustaciones y, de hecho, resulta que para cualquiera de los dos liso estructuras, existe una diffeomorphism entre ellos. Por lo $\Sigma(h)$ es un único colector hasta diffeomorphism.

Tan lejos, tan bueno. Ahora, en Kosinski del Diferencial Colectores', es el siguiente Lema:

Lema: $\Sigma(h)$ es diffeomorphic a $S^m$ si y sólo si $h$ se extiende sobre $D^m$. Por otra parte, $\Sigma(gh) = \Sigma(h)\# \Sigma(g)$.

Aquí $M\# N$ denota el conectado suma de dos colectores como de costumbre.

La prueba de esto se deja como ejercicio para el lector, pero no estoy seguro, cómo se podría construir una extensión de $h$$D^m$, dado que el $\Sigma(h)$ es diffeomorphic a $S^m$?

Sé que en este caso $h(\partial D^m)$ necesariamente separa $\Sigma(h) = S^m$ en dos componentes, y desde $h(\partial D^m)$ es un embedded compact $(m-1)$-colector (que es lisa), también puedo demostrar que $h(\partial D^m)$ es el límite de ambos componentes conectados de su complemento.

Pero en este punto me pierdo. Es claro que estos dos componentes son diffeomorphic a los discos? Donde puedo encontrar una prueba de esto?

Yo estoy muy bien con las otras partes de este Lema, pero yo no veo cómo extender $h$$\Sigma(h) = S^m$. Si usted me podría ayudar, esto sería muy apreciada. Gracias por su ayuda!

Answer 1

Si su esfera de $\Sigma(h)$ es diffeomorphic a un estándar de la esfera, considere la posibilidad de un diffeomorphism $\Sigma(h) \to S^m$. Los dos discos en $\Sigma(h)$ son suaves discos, por lo que después de aplicar el diffeomorphism, que estén suaves discos en $S^m$. Pero suaves discos son tubulares barrios de sus centros. Así son únicos hasta incrustado isotopía. En particular, esto significa que por la isotopía de extensión del teorema puede isótopos su diffeomorphism $\Sigma(h) \to S^m$, de modo que se envía a la "base de disco' $D^m$ $\Sigma(h)$ al hemisferio inferior de $S^m$, por otra parte, usted puede asegurarse de que su diffeo $\Sigma(h) \to S^m$ es un estándar diffeomorphism entre la parte inferior $D^m$ y el más bajo del hemisferio. Pero ahora el superior de $D^m$ $\Sigma(h)$ es identificado (a través de un diffeomorphism) con el hemisferio superior en $S^m$. Por lo componen el mapa con un estándar de diffeomorphism entre la parte superior del hemisferio y una $D^m$. Siempre que usted elija de forma adecuada en el límite, esto es por el diseño de su extensión de $h : \partial D^m \to \partial D^m$ a un diffeomorphism $\overline{h} : D^m \to D^m$.

Por lo anterior, cuando hablo de `estándar' diffeomorphisms entre el $D^m$ y la parte inferior/superior hemi-esferas de $S^m$ a lo que me refiero es que $\partial D^m \times \{0\} = \partial H$ (conjunto de igualdad) donde $H \subset S^m$ es la parte superior o inferior del hemisferio en $S^m$. Así que para ser estándar me refiero a la diffeo debe ser la identidad en el límite en este sentido.

Cerf fue más allá de esto, su pseudo-isotopía teorema ahora dice que $h$ es isotópico a la identidad en $\partial D^m$, siempre $m \geq 6$.

Answer 2

Topológicamente $\mathbb{D}^m \amalg \mathbb{D}^m / \sim$ es la m-esfera. Vamos a ver si podemos conseguir este tipo de identificación, de acuerdo con el suave estructuras. Kosinski del libro ayudado.

---

Si $h:\partial\mathbb{D}^m \to \partial \mathbb{D}^m$ se extiende a un diffeomorphism $h:\mathbb{D}^m \to \mathbb{D}^m$, entonces no es un diffeomorphism

$$ \mathbb{D}^m \amalg_h \mathbb{D}^m \simeq \mathbb{D}^m \amalg_{id} \mathbb{D}^m \simeq S^m $$

la fijación del primer disco y dejando $h$ act en el segundo disco y su límite. Este mapa es un homeomorphism y diferenciable.

---

Si $\mathbb{D}^m \amalg_h \mathbb{D}^m \simeq S^m $ ¿cómo podemos obtener una prórroga? El uso de cualquier diffeomorphism tenemos, $$S^m \backslash h(\partial \mathbb{D}^m) \simeq S^m \backslash \partial \mathbb{D}^m = \mathbb{D}^m \amalg \mathbb{D}^m$$ así obtenemos un discontinuo de la unión de dos discos.

---

Cada diffeomorphism de $S^1 \to S^1$ puede ser extendido para el disco. Un mapa como una expansión de Fourier: $$ \sum a_n e^{i n \theta} \to \sum a_n r^n e^{i n \theta} \text{ with }|r|<1$$ así que tenemos un mapa de $\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ (por Cauchy-Schwarz).

Diffeomorphisms de $S^2 \to S^2$ extender a $\mathbb{D}^3$ esto fue demostrado por Munkres y por Smale.

En los comentarios de Tim Gower del blog, Greg Kuperberg explica que no todos los mapas $S^6 \to S^6$ extender a $\mathbb{D}^7$. Esto tiene que ver con la exótica estructuras en el 7-esfera, por Milnor.