Encontrar el # de $n$-th deriviative $f(x) =e^x \sin x$, la relación de recurrencia de problemas

Question

Me dieron una tarea para encontrar una solución cerrada para el enésimo deriviative de la función:

$f(x) = e^x \sin x$

Hasta ahora he sido capaz de obtener la derivada como:

$f^{(n)}(x) = e^x S_n \sin x + e^x C_n \cos x$

Las secuencias S y C se definen de la siguiente manera:

$S_n = S_{n-1} - C_{n-1}$

$C_n = S_{n-1} + C_{n-1}$

$S_0 = 1$, $C_0 = 0$

He sido capaz de seguir simplemente combinando las dos ecuaciones y la obtención de:

$C_n = 2S_{n-2}$

$S_n = S_{n-1} - 2 S_{n-3}$

Sin embargo, no tengo idea de qué hacer ahora. Alguien me puede ayudar a encontrar la forma cerrada de la solución?

Answer 1

Tenga en cuenta que $S_{n+4} = -4 S_n$ y $C_{n+4} =-4 C_n$. Así $S_{4k+j} = (-4)^k S_j$ y $C_{4k+j} = (-4)^k C_j$. Lista de lo casos $j = 0$ $3$ y listo.

Answer 2

\begin{align} \left( \begin{array}{r} S_n\\C_n\\ \end{matriz} \right) & = \left (\begin{array}{rr} 1 &-1\\ 1 &1\\ \end{matriz} \right) \left (\begin{array}{c} S_{n-1}\\C_{n-1}\\ \end{matriz} \right)\\ & = \left (\begin{array}{rr} 1 &-1\\ 1 &1\\ \end{matriz} \right)^n \left(\begin{array}{c} S_{0}\\C_{0}\\ \end{array} \right) \end{align}

Enfoque 1: Calcular la eigen-descomposición de la matriz y continuar.

Enfoque 2: Valores propios son $(1+i)$ y $(1-i)$. Por lo tanto, debe ser $S_n$ de la % de forma $A(1+i)^n+B(1-i)^n$. Ahora, utilizar los valores de $S_0$ y $S_1$ para calcular $A$ y $B$. $A=B=1/2$.

Después de mayor simplificación, conseguimos %#% $ #%

Answer 3

El % de repetición $S_n=S_{n-1}-2S_{n-3}$puede ser resuelto mecánicamente. Su ecuación auxiliar es $x^3-x^2+2=0$. Por la inspección de $-1$ es una solución, así $x+1$ es un factor de la cúbica: $$x^3-x^2+2=(x+1)(x^2-2x+2)\;.$$ The other roots are $$\frac{2\pm\sqrt{-4}}2=1\pm i\;,$$ so the solution is of the form $ S_n = (-1) ^ n + B(1+i) ^ n + C (1-i) ^ n $. From the initial values $ S_0 = S_1 = 1 $ and $ S_2 = 0$ obtenemos

$$\left\{\begin{align*} &A+B+C=1\\ &-A+B+C+Bi-Ci=1\\ &A+2Bi-2Ci=0 \end{align*}\right.$$

Este sistema tiene la solución $A=0,B=C=\frac12$, que $$S_n=\frac12\left((1+i)^n+(1-i)^n\right)$$ and $% $ $C_n=(1+i)^{n-2}+(1-i)^{n-2}\;.$

Ahora $1+i=\sqrt2 e^{i\pi/4}$ y $1-i=\sqrt2 e^{-i\pi/4}$, así

$$\left\{\begin{align*} &S_n=2^{(n-2)/2}\left(e^{in\pi/4}+e^{-in\pi/4}\right)=2^{n/2}\cos\frac{n\pi}4\\ &C_n=2^{(n-2)/2}\left(e^{i(n-2)\pi/4}+e^{-i(n-2)\pi/4}\right)=2^{n/2}\cos\frac{(n-2)\pi}4=2^{n/2}\sin\frac{n\pi}4\;. \end{align*}\right.$$

Answer 4

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

así $$f(x)=\frac{e^{(1+i)x}-e^{(1-i)x}}{2i}$ $

Así $$f'(x)=\frac{(1+i)e^{(1+i)x}-(1-i)e^{(1-i)x}}{2i}$$ $$f''(x)=\frac{(1+i)^2e^{(1+i)x}-(1-i)^ne^{(1-i)x}}{2i}$ da$ siguiente de manera similar, $$f^n(x)=\frac{(1+i)^ne^{(1+i)x}-(1-i)^ne^{(1-i)x}}{2i}$ $

Answer 5

He aquí una bonita forma en que se hace uso de exponenciales complejas y no implica desagradable de relaciones de recurrencia.

Empezar por darse cuenta de que $\sin x$ es la parte imaginaria de $e^{ix}$.

Definir una función $F$ como sigue:

$F(x)=e^xe^{ix}=e^x\cos x+i e^x \sin x$

La función de $f(x)=e^x\sin x$ ahora puede ser expresado como la parte imaginaria de $F$:

$f(x)=Im(F(x))$

Si usted escribe $F$ $F(x)=e^{(1+i)x}$ usted puede encontrar fácilmente su $nth$ derivado:

$F^{(n)}(x)=(1+i)^ne^{(1+i)x}=e^x \cdot(1+i)^ne^{ix}$

Para realizar la extracción de la parte imaginaria de la expresión anterior más fácil podemos reescribir $1+i$ en forma polar:

$1+i=\sqrt2 e^{i\pi /4}$

Con esto lo que, finalmente, se escribe $F^{(n)}(x)$ como:

$F^{(n)}(x)=e^x\cdot 2^{n/2}e^{in\pi /4}e^{ix}=2^{n/2}e^x e^{i(x+n\pi /4)}$

Si ahora tomamos la parte imaginaria de encontrar:

$f^{(n)}(x)=Im(F^{(n)}(x))=2^{n/2}e^x \sin (x+n\pi /4)$