¿Cómo se calcula una suma en un polinomio?

Question

Sé que dado un polinomio $p(i)$ de grado $d$, la suma de $\sum_{i=0}^n p(i)$ iba a tener un grado de $d + 1$. Así, por ejemplo,

$$\sum_{i=0}^n \left(2i^2 + 4\right) = \frac{2}{3}n^3+n^2+\frac{13}{3}n+4.$$

No puedo encontrar la manera para hacerlo de la otra manera alrededor. Lo que quiero decir con esto, es ¿cómo puede usted, cuando se le da un polinomio, calcular el polinomio suma?

Por ejemplo, si sabemos que

$$\sum_{i=0}^{n} p(i) = 2n^3 + 4n^2 + 2,$$

¿cómo podemos encontrar el polinomio $p(i)$?

Answer 1

Para decirlo en otras palabras, creo que la cuestión es esta:

Supongamos que los polinomios de $p$ y $q$ tienen la propiedad de que $$\sum_{i=0}^n p(i) = q(n)$$ Si te dan $q$, ¿cómo puede usted encontrar $p$?

En primer lugar, esta es una hermosa pregunta. Nunca me había considerado, debido a que casi siempre estudio, en cambio, "si se sabe que $p$, ¿cómo encontrar $p$?"

Para responder a pesar de que, resulta ser bastante simple. Escriba el siguiente: $$\begin{align} q(n-1) y= p(0) + p(1) + \ldots + p(n-1) \\ p(n) &= p(0) + p(1) + \ldots + p(n-1) + p(n) \\ \end{align}$$

Ahora resta la parte superior de la parte inferior para obtener $$\begin{align} p(n) - p(n-1) y= p(n) \end{align}$$

Como un ejemplo, en tu caso si lo sabía $$q(n) = 2n^3 + 4n^2 + 2$$ encontramos que $$p(n) = q(n) - p(n-1) = 2n^3 + 4n^2 + 2 - [2(n-1)^3 + 4(n-1)^2 + 2],$$ el que se simplifica a $$p(n) = 6n^2 +2n - 2.$$

Vamos a hacer un ejemplo: sabemos que por $p(n) = n$ tenemos $q(n) = \frac{n(n+1)}{2}$. Así que supongo que nos dieron $p$. Nos gustaría calcular $$\begin{align} p(n) - p(n-1) &= \frac{n(n+1)}{2} - \frac{(n-1)(n)}{2} \\ &= \frac{n^2 + n}{2} - \frac{n^2 - n}{2} \\ &= \frac{n^2 + n-(n^2 - n)}{2} \\ &= \frac{n^2 + n - n^2 + n}{2} \\ &= \frac{2n}{2} \\ y= n, \end{align}$$ de modo que $p(n) = n$, como se esperaba.

Nota: Como está escrito, he asumido que $p$ y $q$ son ambos polinomios. Pero la solución muestra que, si $p$ es un polinomio, entonces $p$ debe también ser un polinomio, que es una especie de agradable.

Post-comentario comentarios

Como @Antonio Vargas señala, sin embargo, hay un interesante sutileza:

Me he dado una respuesta correcta a mi revisado pregunta, que fue "Si existen polinomios $p$ y $q$ satisfacer una cierta igualdad, entonces ¿cómo se puede encontrar $p$ dado $q$."

Pero supongamos que no hay tal polinomio $p$. Mi respuesta sigue calcula una expresión que $p$, si existiera, tendría que coincidir. Pero ya que no se como $p$ existe, la expresión calculada no tiene ningún valor.

O tal vez debería decir que tiene un valor limitado: usted puede tomar el polinomio $p$ y calcular su suma el uso de técnicas inductivas y ver si usted recibe $p$. Si es así, genial; si no, entonces no hay ninguna respuesta en el primer lugar.

Afortunadamente, usted puede también hacer que "¿realmente funciona" comprobar de forma mucho más sencilla. Usted sólo tiene que comprobar la $n = 0$ caso: si $$\sum_{i = 0}^0 p(i) = q(0)$$ a continuación, todos mayores sumas de dinero. Y esta comprobación se simplifica a pedir: $$p(0) = q(0)?$$ En nuestro ejemplo, $p(0) = -2$, mientras que $p(0) = +2$, por lo que no te funciona.

Answer 2

Que los Polinomios Se Puede escribir como una Suma

Sumando un Telescópico de la Serie, obtenemos $$\begin{align} \sum_{k=0}^n(p(k)-p(k-1)) &=\sum_{k=0}^np(k)-\sum_{k=0}^np(k-1)\\ &=\sum_{k=0}^np(k)-\sum_{k=-1}^{n-1}p(k)\\ &=p(n)-p(-1) \end{align}$$ Resulta que no todo polinomio se puede escribir como una suma de otros polinomios. Para ser escrito como suma de polinomios $$p(n)=\sum_{k=0}^cn(k)$$ debemos tener $p(-1)=0$, y si esa condición se mantiene, entonces $p(k)=p(k)-p(k-1)$.

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Diferencias Finitas

$q(k)=p(k)-p(k-1)=\Delta p(k)$ es el primer Retroceso de Diferencia Finita de $p$.

Usando el Teorema del Binomio, se obtiene la primera hacia atrás de diferencia finita de $x^n$ a ser $$\Delta x^n=x^n-(x-1)^n=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k-1}\binom{n}{k}x^k$$ Esto muestra que el primer retroceso de diferencia finita de un grado $n$ polinomio es de grado $n-1$ polinomio.

Por lo tanto, para $$p(k)=2k^3+4k^2+2$$ tenemos $$\begin{align} \Delta p(k) Y=2\overbrace{\left[3k^2-3k+1\right]}^{\Delta k^3}+4\overbrace{\left[\vphantom{k^2}2k-1\right]}^{\Delta k^2}+2\overbrace{\left[\vphantom{k^2}\ \ \ 0\ \ \ \a la derecha]}^{\Delta 1}\\ &=6k^2+2k-2 \end{align}$$ Sin embargo, dado que $p(-1)=4$, tenemos $$\sum_{k=0}^n(6k^2+2k-2)=2n^3+4n^2-2$$ que no es de $p(n)$. Es decir,

No hay ningún polinomio $p(n) de dólares para que$\sum\limits_{k=0}^cn(k)=2n^3+4n^2+2$

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La Pregunta Anterior

La respuesta a continuación fue publicado antes de que la pregunta fue cambiado. Fue

La otra manera alrededor, sin embargo, todavía estoy un poco perdido. Por ejemplo, dado el polinomio $p(i) = 2i^3 + 4i^2 + 2$, ¿cómo podría usted encontrar $\sum_{i=0}^n p(i)$?

Así que lo que sigue puede parecer fuera de tema.

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Hay varias maneras de abordar este problema.

Binomio Polinomios

Una de ellas es la de escribir el polinomio como un binomio polinomio: $$2k^3+4k^2+2=12\binom{k}{3}+20\binom{k}{2}+6\binom{k}{1}+2\binom{k}{0}$$ A continuación, utilice la fórmula $$\sum_{k=0}^n\binom{k}{m}=\binom{n+1}{m+1}$$ para obtener $$\begin{align} \sum_{k=0}^n\left(2k^3+4k^2+2\right) Y=12\binom{n+1}{4}+20\binom{n+1}{3}+6\binom{n+1}{2}+2\binom{n+1}{1}\\ &=\frac{3n^4+14n^3+15n^2+16n+12}6 \end{align}$$

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De Euler-Maclaurin Fórmula De La Suma

En la mayoría de los casos, el de Euler-Maclaurin Fórmula de la Suma es una aproximación asintótica, pero en el caso de los polinomios, es exacta. $$\sum_{k=0}^nf(k)\sim C+\int_0^nf(x)\,\mathrm{d}x+\frac12f(n)+\frac1{12}f'(n)-\frac1{720}f"'(n)+\frac1{30240}f^{(5)}(n)+\dots$$ que los términos implican mayores derivados, que para polinomios finalmente desaparecerá. En el caso que nos ocupa, esto le da la misma respuesta que el anterior.