¿Cómo explicar ✳43.3 y ✳43.31 de Whitehead y Russell ' s PM?

Question

Tomar ✳43.3 por ejemplo, supongo

$ P = R |Q $ donde R es fijo.

$ R| $ es la relación entre el$R|Q$$Q$, es decir. $ R| = \hat{P} \hat{Q} \{ P = R|Q \} $

$Ɑ‘R|= \hat{Q}\{ E! R|‘Q \}$

Dado que el $R$ es el de "padre a la hija," a continuación, $ Ɑ‘R| $ es la clase de relaciones, cuyos referentes son las mujeres, por ejemplo, {"madre a hijo", "la hermana al hermano," hija "de padre", "la tía a sobrino",... }

Al $Q$ es "la madre al hijo," $P$ es "abuelo a nieto." Por lo tanto P no pertenece a $Ɑ‘R|$, lo que contradice ✳43.3. Por favor, señalar lo que está mal con mi razonamiento.

No hay ninguna duda en cuanto a la inversa de dominio y campo de $R|$

$Ɑ‘R|= \hat{Q}\{(∃T) T=R|Q \} $

$C‘R|=\hat{S}\{(∃T) S=R|T .∨. T=R|S\}$

Así exactamente lo $P$ representa en cada uno de estos números?

Answer 1

Creo que debemos "leer" $R|$ como una "operación" que toma como "entrada" una relación $S$ y produce como "salida" a su composición : $R|S$.

Si se utiliza un "dummy" símbolo $Comp_R(x)$ definición de un formulario de asignación "el conjunto de todas las relaciones" en sí mismo, tenemos que :

$Comp_R(S) = R|S$.

Las propiedades básicas que se declara en *43 son muy "obvio". Considere la posibilidad de :

*43.11 : $\vdash R|‘Q = R|Q$.

Si recordamos que el $R‘y=(\iota x)xRy$, es decir,$R‘$ es una función que, a partir de la entrada $y$ produce como salida el único $x$ tal que $xRy$, la proposición que dice que el "operador" $R|‘$ que se aplica a la relación $Q$ nos da como resultado la "composición" $R|Q$ (como se esperaba).

Si es así, podemos leer

*43.3 : $\vdash (P). P \in \mathbb D ‘R|$ (he usado $\mathbb D$ en lugar de la "invertida-D", que yo no soy capaz de escribir)

como indicando que podemos "componer" $R$ con cada relación $P$ (es decir, el "operador" $R|$ puede ser aplicado a cada relación $P$ a producir $R|P$).

La misma consideración se aplica a los *43.301 y .302.

Answer 2

Una forma de evitar la contradicción es asumir $P$ significa diferentes cosas en diferentes números. El resumen para ✳43 utilizado $ P $ tanto referente y relatum de $R|$.

Suponga $P$ en ✳43.3 es uno de los relata de $(R|)$, lo $P$ es cualquier relación que puede ser argumento para $R|‘Q$. A continuación, ✳43.3 establece que todas las relaciones que pertenecen a la inversa de dominio de $R|$ o son incapaces de ser argumento para $R|‘Q$. En otras palabras, a la inversa de dominio de $R|$ abarca todo tipo definido por la función descriptiva $(R|‘Q)$ donde |R| es fijo e $Q$ es el argumento.

En ✳43.31 $P$ representa una relación de relaciones. $P$'s de conversar de dominio se superpone con la conversación de dominio de $(R|)$. Desde siempre dos tipos de superposición coinciden también, el tipo de $P$'s relata es el mismo que el tipo que se define por la función descriptiva $(R|‘Q)$ donde $R$ es fijo e $Q$ es el argumento. Como 43.3 muestra, a la inversa de dominio de $R|$ abarca todo tipo definido por la función descriptiva $(R|‘Q)$, se deduce que el recíproco de dominio de P pertenece a $(Ɑ‘R|)$