Un anillo noetheriano no de Laskerian

Question

Un Laskerian anillo es un anillo en el que cada ideal que tiene un principal de descomposición. La Lasker-Noether teorema establece que cada conmutativa Noetherian anillo es un Laskerian anillo (como consecuencia de la ascendente de la cadena de condición).

Y he encontrado la declaración de que no existen Noetherian Laskerian anillos, pero no puedo encontrar un ejemplo. Alguna idea?

Edit. Como la etiqueta se ha sugerido ya, estoy particularmente interesado en una propiedad conmutativa Laskerian no Noetherian anillo, pero no conmutativa ejemplos también son bienvenidos. Nunca está de más saber más contraejemplos.

Answer 1

No sé de nada más fácil ejemplos, pero aquí va uno. Deje que $k$ ser un campo y $R$ el conjunto de clases de equivalencia de los elementos de la forma $\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$ donde $x,$ y son indeterminates más de $k$, $f,g\en k[x,y]$, $x$ no dividir $g$ (en $k[x,y]$) y $\frac{f(0,y)}{g(0,y)}\in k$. Hacer $R$ en un anillo por la costumbre de la adición y la multiplicación de funciones racionales. Entonces, se puede demostrar que $R$ es un anillo conmutativo que no es noetherian y de todos los ideales de $R$ tiene un principal de descomposición.

Este es un ejemplo de Gilmer del papel enlaza aquí.

También da una caracterización de los anillos, en la que cada ideal tiene un único primaria de descomposición.

Answer 2

Muchos ejemplos interesantes son en Barucci y Fontana: Cuando son $\rm\ D + \frak M\ $ anillos Laskerian? Construyen (no Noetherian) Laskerian o fuertemente Laskerian anillos y dominios, ya sea integralmente cerrado o no, de cualquier dimensión. Se emplean frecuentemente utilizado poderosa herramienta para la construcción de contraejemplos - la $\rm\ D + \frak M\ $ de la construcción. Para más sobre esta obra véase Anderson: Estrella de las operaciones y los $\rm\ D + \frak M\ $ construcciones y ver esta muy informativo de la encuesta sobre el más general de las construcciones de Zafrullah: las Diversas facetas de los anillos de entre $\rm\:D[X]\:$ y $\rm\:K[X]\:$.

Answer 3

Ver I. Armeanu, en una clase de Laskerian anillos, revista Roum. Matemáticas. Pures et Liquid XXII, 8, 1033 – 1036, Bucarest, 1977.