Pregunta sobre subgrupo normal y relativamente primer índice

Question

Supongamos que es finito $G$ $K$ es un subgrupo normal en $G$, $H$ es un subgrupo de $G$ y es relativamente alto a $|K|$ $[G:H]$. Muestran que $K$ es un subgrupo de $H$.

No sé dónde empezar...

Answer 1

No necesita $K$ a ser normal, que sólo necesitas $HK$ ser un subgrupo (que es cuando $K$ es normal). Tenga en cuenta que $K\subseteq H$ si y sólo si $H\cap K=K$.

En general, sabemos que $|HK||H\cap K| = |H||K|$. Por lo tanto, si todas las cantidades son finitas, tenemos $$\frac{|HK|}{|H|} = \frac{|K|}{|H\cap K|}.$ $ $HK$ es un subgrupo y $G$ es finito, entonces divide a $|HK|$ $|G|$, que $$\frac{|K|}{|H\cap K|} = \frac{|HK|}{|H|} \text{ divides }\frac{|G|}{|H|} = [G:H].$ $

De esto debe ser capaz de terminar.

Answer 2

Voy a probar una más general resultado:

Si $K\triangleleft G$, $|K|$ finito, $H\leq G$, $[G:H]$ finito y $|K|$, $[G:H]$ son relativamente primos, a continuación, $H\leq K$

Tenemos que demostrar el siguiente Lema para una muy elemental de la prueba.

Lema: Si $H$ $K$ son subgrupos de un grupo de $G$,$[H:H\cap K]\leq [G:K]$. Si $[G:K]$ es finito, a continuación, $[H:H\cap K]=[G:K]$ si y sólo si $G=KH$.

Prueba: Si $A$ es la recopilación de toda la izquierda cosets de $H\cap K$ $H$ $B$ es la recopilación de toda la izquierda cosets de $K$$G$. El mapa de $\phi:A\to B$ $\phi(h(H\cap K))=hK$ (recordar que $h$ debe ser en $H$) está bien definido desde $h(H\cap K)=h'(H\cap K)$ implica $h'h^{-1}\in (H\cap K)$, en particular,$h'h^{-1}\in K$,$h'K=hK$. Mapa es inyective desde $h'K=hK$ $h\in H$ implica $h'h^{-1}\in K$ $h'h^{-1}\in H$ por lo tanto $h'h^{-1}\in H\cap K$$h(H\cap K)=h'(H\cap K)$. A continuación,$[H:H\cap K]=|A|\leq|B|=[G:K]$. Deje $[G:K]=n<\infty$ $[H:H\cap K]=[G:K]$ si y sólo si $\phi$ es surjective si y sólo si $G=KH$ $\square$.

Desde $K$ es normal, $KH$ es un subgrupo. Por el Lema que hemos $[K:H\cap K]=[HK:K]$ pero $|K|$ es finito, a continuación,$|H\cap K|$, por lo que es y sabemos que $[K:H\cap K]|H\cap K|=|K|$ entonces tenemos que $[K:H\cap K]$ es finito y $[G:H]=[G:HK][HK:H]$.

Tenga en cuenta que $[HK:H]=[K: H\cap K]$ (segundo teorema de isomorfismo) y ambos son finitos. Claramente $[HK:H]$ divide $[G:H]$ $[K: H\cap K]$ divide $|K|$, pero son relativamente primos, a continuación, $[K: H\cap K]=1$ implica $K\leq H$.

Answer 3

1) Supongamos que $\,H\triangleleft G\,$ y Fijémonos en $\,kH\in G/H\,\,,\,\,k\in K\,$, así que una mano tenemos $\,\left(kH\right)^{|K|}=k^{|K|}H=H\,$, y OTOH también tenemos $\,\left(kH\right)^{[G:H]}=k^{[G:H]}H=H\, $, por lo que ambos números $\,|K|\,,\,[G:H]\,$ tienen que ser múltiplos de orden de este elemento, que puede ser solamente si su orden es 1, y hemos terminado.

2) si H no es normal en G, sólo tomar $\,\displaystyle{\cap_{g\in G}H^g=}\,$ la base o H en G, en lugar de H.