Integración de funciones trigonométricas: $\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{(a^2\cos^2x+b^2 \sin^2x)^2}$

Question

Cómo integrar %#% $ #%

¿Qué es lo que?

Ser un estudiante de secundaria, no sé cosas como integración de contador. (Al menos no enseñado en la India en la educación secundaria). Sé simple resultados elementales de integración indefinida y definida. Substituciones y todas aquellas obras buenas.:)

Answer 1

En este caso, el siguiente truco también funciona: dividiendo el numerador y el denominador por $\cos^4 x$, podemos utilizar la sustitución $ t = \tan x$ para obtener

\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{(a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x)^2} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \tan^2 x}{(a^2 + b^2 \tan^2 x)^2} \sec^2 x \, dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{1 + t^2}{(a^2 + b^2 t^2)^2} \, dt \\ &= \frac{1}{a^2}\int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{a^2 + b^2 t^2} + \frac{(a^2 - b^2) t^2}{(a^2 + b^2 t^2)^2} \right) \, dt. \end{align*}

El primero de ellos se puede evaluar como sigue: que $bt = a \tan\varphi$. Entonces

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{a^2 + b^2 t^2} = \frac{1}{ab} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\varphi = \frac{\pi}{2ab}. $$

Para el segundo, realizamos la integración por partes:

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{t^2}{(a^2 + b^2 t^2)^2} \, dt &= \left[ - \frac{1}{b^2}\frac{1}{a^2 + b^2 t^2} \cdot \frac{t}{2} \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2b^2}\frac{dt}{a^2 + b^2 t^2} \\ &= \frac{1}{2b^2} \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{a^2 + b^2 t^2} \\ &= \frac{\pi}{4ab^3}. \end{align*}

Armando, la respuesta es

$$ \frac{(a^2 + b^2)\pi}{4(ab)^3}. $$