$a_{n+1}=\log(1+a_n),~a_1>0$ . Entonces encuentra $\lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot a_n$

Question

Supongamos que $a_{n+1}=\log(1+a_n),~a_1>0$ . Entonces encuentra $\lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot a_n$ .

Puedo encontrar $\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=0$ . Pero no tengo ni idea de cómo encontrar $\lim_{n \rightarrow \infty} n\cdot a_n$ . (En este problema, $\log$ denota el logaritmo natural). ¿Podría darme una idea clave para resolver este problema?

Answer 1

Utilizando la serie Maclaurin para $\log(1+x)$ el teorema de Stolz-Cesàro, y el hecho de que $\lim_n a_n = 0$ ,

$$\begin{align*} \lim_n n\cdot a_n &=\lim_n\frac{n}{(a_n)^{-1}}\\ &=\lim_n\frac{(n+1)-n}{(a_{n+1})^{-1}-(a_n)^{-1}}\\ &=\lim_n\frac{a_n a_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}\\ &=\lim_n\frac{a_n\log(1+a_n)}{a_n-\log(1+a_n)}\\ &=\lim_n\frac{(a_n)^2 -\frac12(a_n)^3+\frac13(a_n)^4-\cdots}{\frac12(a_n)^2-\frac13(a_n)^3+\frac14(a_n)^4-\cdots}\\ &=2\lim_n\frac{1 -\frac12a_n+\frac13(a_n)^2-\cdots}{1-\frac23a_n+\frac24(a_n)^2-\cdots}\\ &=2. \end{align*}$$

Como alternativa al uso de la serie de Maclaurin, el límite $$\lim\limits_n\dfrac{a_n\log(1+a_n)}{a_n-\log(1+a_n)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x\log(1+x)}{x-\log(1+x)}=2$$ se puede encontrar con dos aplicaciones de la regla de l'Hôpital.