$\tau$ y agrupación de números primos

Question

Desde el Primer Número y Teorema de esto podemos afirmar $$\frac{p_n}{\bar{p}}\sim 2$$ or $$\lim_{n\to \infty} \frac{np_n}{(p_1 + \dots +p_n)} = 2$$

Si luego miramos las fluctuaciones en el gráfico de $$f(n) = \frac{np_n}{(p_1 + \dots +p_n)}$$ so that $$g(n) = \left|\space f(n) - f(n-1)\right|$$ obtenemos la siguiente parcela

Ahora esta trama es interesante para mí por dos razones:

• parece dividir los números primos en grupos que tienden a seguir una determinada función
• los gráficos de cada una de esas funciones que parece cambiar en el eje x por un factor de $\tau$ (o $2\pi$).

Yo no soy matemático, así que me gustaría saber si estos resultados se corresponden con ningún conocido teoremas o si tienen alguna verdad o significado en absoluto.

(Esto está relacionado con mi anterior pregunta sobre este tema)

Extra
Aquí es similar, el aspecto gráfico de la diferencia entre los términos de error de $p_n \sim n\log(n)$$n$$n-1$.

Answer 1

Hay algo que vale la pena explicar en la regularidad de la rejilla de patrón con el que cuelgan los picos en la OP del gráfico. Yo no sé cuál es la explicación es, pero pensé que valdría la pena escribir algunas observaciones, con la esperanza de que alguien con el aumento de la analítica de los ojos que la mía va a recoger donde dejo fuera.

Permítanme comenzar con un poco de notación. Desde el OP está interesado en la relación de la $n$th prime a la de la media de la primera $n$ primos, vamos a escribir

$$R_n={np_n\over p_1+\cdots+p_n}$$

La OP es la representación gráfica de la función

$$\Delta(n)=|R_n-R_{n-1}|$$

Estoy usando $\Delta$ en lugar de $g$ para esta función porque quiero utilizar $g$ para denotar la brecha entre los números primos. Es posible reescribir $R_{n-1}$ en términos de $n$, $R_n$, $p_n$ y $g_n=p_n-p_{n-1}$. El resultado es

$$\Delta(n)={R_n\over|n-R_n|}\left|{(n-1)g_n\over p_n}-(R_n-1) \right|$$

Esta fórmula tiene una mejor apariencia si nos dispensan con el subíndice (pero, por supuesto, teniendo en cuenta que es realmente allí):

$$\Delta(n)={R\over|n-R|}\left|{(n-1)g\over p}-(R-1) \right|$$

Ahora vamos a recordar que la relación de $R_n$ tiende a $2$$n\to\infty$, así que podemos escribir $R=2+\epsilon$, con el entendimiento de que $\epsilon=\epsilon_n\to0$. Esto le da

$$\Delta(n)={2+\epsilon\over|n-2-\epsilon|}\left|{(n-1)g\over p}-1-\epsilon \right|$$

Desde el gráfico utiliza una logarítmica de la escala vertical, tiene sentido tomar registros de aquí. Si queremos también hacer un poco de aproximación, hemos

$$\begin{align} \log(\Delta(n))&=\log(2+\epsilon)-\log|n-2-\epsilon|+\log\left|{(n-1)g\over p}-1-\epsilon \right|\\ &\approx\log2-\log n+ \log\left|{(n-1)g\over p}-1-\epsilon \right| \end{align}$$

Ahora los dos primeros términos aquí, $\log2-\log n$, de acuerdo con la pendiente de la gráfica. (En realidad, como Pedro ha observado, $\epsilon$ se toma su tiempo cada vez más pequeños, así que probablemente debería mantener en el $\log(2+\epsilon)$. Pero su efecto es meramente para desplazar todo el gráfico hacia arriba o hacia abajo). La indefinición, la red, y los pinchos, debe venir desde el tercer término.

Tenga en cuenta que $p=p_n\approx n\log n$, así que podemos escribir

$${(n-1)g\over p}-1-\epsilon={g\over\log n}-1-\epsilon'$$

donde $\epsilon'=\epsilon_n'$ ahora incorpora los errores de las dos aproximaciones. Ahora, con cierta periodicidad, la diferencia entre los números primos es bastante pequeño, por ejemplo, $g=2$ ocasionales doble de los números primos, en cuyo caso el tercer término contribuye próximo a la nada. Creo que va un largo camino para explicar la bastante espesa pelusa cerca de la parte superior de la gráfica.

Además, dado que el promedio de la brecha entre los números primos es aproximadamente el $\log n$, se puede esperar que el tercer término de vez en cuando el registro de un pequeño número, que produce puntos por debajo de la pelusa. Pero, ¿por qué el patrón es tan regular todavía parece misterioso.

Answer 2

La lectura de la aproximación en la forma :

$$\large \frac{\sum_{j=1}^n p_j}{n}\approx \frac{p_n}{2}$$

allows the interesting interpretation : The arithmetic mean of the first $n$ primes is about the half of the $n-ésimo$ prime, so in some sense, the first $$n los números primos son distribuidos de forma simétrica alrededor de la media de la $n-th$ prime.

Tenga en cuenta, que la función es convergente muy lentamente. Esto puede ser visto desde $$f(10^8)>2.05$$

The local maxima upto the probable global maximum of $f$ se muestra el siguiente PARI/GP-programa:

? maxi=0;s=0;t=1;for(n=1,10^8,merk=s;t=nextprime(t+1);s=s+t;if(n*t/s>maxi,maxi=n
*t/s;print(n,"   ",t,"   ",s,"    ",n*t/s,"   ",1.0*n*t/s)))

1   2   2    1   1.000000000000000000000000000
2   3   5    6/5   1.200000000000000000000000000
3   5   10    3/2   1.500000000000000000000000000
4   7   17    28/17   1.647058823529411764705882353
5   11   28    55/28   1.964285714285714285714285714
7   17   58    119/58   2.051724137931034482758620690
9   23   100    207/100   2.070000000000000000000000000
10   29   129    290/129   2.248062015503875968992248062
12   37   197    444/197   2.253807106598984771573604061
17   59   440    1003/440   2.279545454545454545454545455
25   97   1060    485/212   2.287735849056603773584905660
31   127   1720    3937/1720   2.288953488372093023255813954
35   149   2276    5215/2276   2.291300527240773286467486819
48   223   4661    10704/4661   2.296502896374168633340484875

No sé un teorema relacionado con $f(n)$. Y yo también, no sé si hay es un método eficaz para calcular la suma de los primeros a $n$ números primos. Sería interesante saber en que punto de la función se hace más pequeño de $2.01$. En OEIS , me encontré con la suma de los primeros a $10^{13}$ primos : Es $1,593,061,976,858,155,930,556,059,673$. El $10^{13}-th$ primer es $323,780,508,946,331$, lo $f(10^{13})>2.03$

Finalmente, después de encontrar los datos necesarios para $10^{20}$, me encontré con el increíble resultado que se muestre $f(10^{20})>2.02$

? print(n,"  ",t,"   ",s,"    ",n*t/s*1.0)
2220819602560918840  99999999999999999989       109778913483063648128485839045703833
541    2.022992879141165878001455078

Answer 3

Tengo una apariencia similar gráfico cuando he trazado la diferencia entre los términos de error de $p_n \sim n\log(n)$$n$$n-1$. A partir de esto tengo una mejor comprensión de la gráfica, porque aquí podemos decir $$f(n) = \left|n\log n - p_n - (n-1)\log(n-1)+p_{n-1}\right|$$ $$= \left|\log(n^n) - \log((n-1)^{n-1}) - g\right|$$ donde $g$ es la principal diferencia entre $p_n$$p_{n-1}$. A continuación, podemos simplificar aún más $$f(n)= \left|\log\left(\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right) - g\right|$$ y porque $$\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \sim en$$ podemos decir $$f(n) \approx \left|\log(en) - g\right|$$ Ahora es fácil ver por qué esta gráfica tiene la forma que tiene. Básicamente se trata de un montón de funciones logarítmicas que se desplazan verticalmente por un monto de $g$. La red-como aspecto viene desde la más absoluta corchetes en la función, que reflejan los valores negativos que sobre el eje x.

Ahora, de vuelta a la gráfica original, que es un gráfico similar, pero tiene una pendiente descendente. Si nos fijamos en Barry observaciones sobre la función de la gráfica y llevar a cabo los términos de error $$\Delta(n) \approx \frac{2}{n} \left|{g\over\log n}-1\right|$$ a continuación, podemos traer abajo a $$\Delta(n) \approx \frac{2}{n\log n} \left|g-\log n \right|$$

Ahora tenemos una función similar a la de la otra gráfica, donde el primer término es responsable de la pendiente descendente, $\log n$ para las funciones logarítmicas y $g$ para el desplazamiento vertical de estas funciones. De nuevo la absoluta soportes de hacer de la red-como aspecto.