Es bien sabido que cada número natural puede escribirse como una suma de 4 cuadrados de números enteros.
¿Ha habido algún progreso reciente acerca del problema similar para los cubos, potencias de 4 to y así sucesivamente? ¿Creo que esto fue demostrado para ser representable mediante algunos N — que depende de la potencia — y lo que es el cuento?
Sin duda, el problema de "¿cuál es el mínimo de g=g(k) tal que cada número entero se puede escribir como la suma de g k-ésima poderes" es menos interesante que la versión que hace caso omiso de las cosas que sucede con un número finito de casos especiales.
Es decir, la "real", la pregunta debería ser "¿cuál es el mínimo de G=G(k) tal que para algún N, cada número entero mayor que N puede ser representado como la suma de G k-ésima poderes".
Por ejemplo, cada número es la suma de 19 de 4 de poderes, sino que cada número mayor que 13,792 es en realidad la suma de sólo 16 4 de poderes. El "16" se conoce desde hace bastante tiempo; la verificación de que 13,792 es el último delincuente es bastante reciente (he encontrado que el valor de la Wikipedia, por cierto).
La evaluación de G(k) es más difícil de evaluar g(k), y la mayoría de los valores reales, todavía no se conoce. No creo que hubo una tremenda reciente progreso en este frente, aunque ciertamente hay progreso en cosas como límites, el número de representaciones, etc.
Usted debe mirar Wooley la encuesta de aquí (yo no lo he leído aún).
No sé, pero yo asistí a una charla de John Conway en este tipo de cosas en Berkeley el año pasado. Lamentablemente no tomé notas, pero a continuación es el resumen de la charla.
Casi Universal, Quadric Formas
Estoy bastante orgulloso de haber probado el "Quince Teorema", según el cual uno puede comprobar que una positiva definida forma cuadrática con la forma de la matriz representa todos los enteros positivos sólo representa hasta los 15. Soy casi tan orgulloso de haber hecho el "290 Conjetura," ahora demostrado por Bhargava y Hanke, que realiza el servicio similar para valores enteros de las formas. Por qué? – porque juntos estos dos teoremas fin, más de 200 años de trabajo en universal cuadráticas formas, el primer teorema de la que el sujeto de Lagrange 1770 Teorema de los Cuatro Cuadrados.
Ahora es el momento para tratar de hacer lo mismo para la casi universalidad de las formas tridimensionales, que fue iniciada por Legendre es mucho más sutil de Tres Plazas Teorema de 1798.
Sí! Este es un problema clásico con mucha historia. De La Wikipedia:
En teoría de números, Waring del problema, propuesto en 1770 por Edward Waring, se pregunta si para cada número natural k existe asociado un positivo entero s tal que a cada natural número es la suma de más de s kth potencias de números naturales (por ejemplo, cada número es la suma de a la mayoría de 4 plazas, o 9 cubos, o 19 cuarto poderes, etc.). La afirmativa respuesta, conocido como el de Hilbert–Waring teorema de Hilbert en 1909.1 Waring del problema tiene su propio Matemáticas de Clasificación de materias, 11P05, "Waring del problema y las variantes."
También te puede interesar el 15 teorema.
Esto se denomina "Problema de Waring".
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