Idea:
El uso de la interpolación de Lagrange de la fórmula para el $(r+p)$th grado del polinomio
$$f(z)=\prod_{j=1}^r(z-x_j)\prod_{k=0}^p(z-u'_k)-\prod_{j=1}^p(z-x'_j)\prod_{k=0}^r(z-u_k),$$
interpolados en $r+p+1$ puntos $x_1,\ldots,x_r,u'_0,\ldots,u'_p$. Calcular el coeficiente de $z^{r+p}$ en ambos lados da la identidad que desea probar.
Prueba:
Primero, vamos a recordar la fórmula de la interpolación de Lagrange polinomio
$$L(z)=\sum_{i=1}^{N} f_i\prod_{j\neq i}^{N}\frac{z-z_j}{z_i-z_j}.\la etiqueta{$\spadesuit$}$$
Este es el único de $(N-1)$th grado del polinomio que pasa a través de $N$ puntos
$(z_i,f_i)$ ($i=1,\ldots, N$).
La próxima vamos a considerar un determinado polinomio (tenga en cuenta que también tiene un grado $N-1$)
$$P(z)=\prod_{i=1}^{N}(z-z'_i)-\prod_{i=1}^{N}(z-z_i),\etiqueta{$\clubsuit$}$$
que depende de la $2N$ parámetros de $z_1,\ldots,z_{N}$, $z_1',\ldots,z_N'$. Los valores de este polinomio en $z=z_i$ están dadas por
$$P(z_i)=\prod_{j=1}^N(z_i-z'_j).$$
Por lo tanto, el uso de ($\spadesuit$) $f_i=P(z_i)$, obtenemos la identidad
$$\sum_{i=1}^N\prod_{k=1}^N(z_i-z'_k)\prod_{j\neq i}^{N}\frac{z-z_j}{z_i-z_j}=
\prod_{i=1}^{N}(z-z'_i)-\prod_{i=1}^{N}(z-z_i).\la etiqueta{$\diamondsuit$}$$
Esta es una igualdad entre dos polinomios. Ahora calcular el coeficiente de en frente de $z^{N-1}$ en ambos lados de ($\diamondsuit$). Esto conduce a la identidad
$$\sum_{i=1}^N\frac{\prod_{j=1}^N(z_i-z'_j)}{
\prod_{j\neq i}^N(z_i-z_j)}=
\sum_{i=1}^N z_i-\sum_{i=1}^Nz'_i.\la etiqueta{$\heartsuit$}$$
Por último, vamos a establecer $N=r+p+1$ y elegir $\{z_i\}$, $\{z'_i\}$ ($\heartsuit$) de la siguiente manera:
\begin{align*}
z_i&=\begin{casos}x_i & \text{para }i=1,\ldots,r,\\
u'_{i-r-1} & \text{para } i=r+1,\ldots,r+p+1,
\end{casos}\\
z'_i&=\begin{casos}u_i & \text{para }i=1,\ldots,r,\\
x'_{i-r-1} & \text{para } i=r+1,\ldots,r+p+1.
\end{casos}
\end{align*}
Luego ($\heartsuit$) se transforma en
\begin{align*}
\sum_{i=1}^r\frac{\prod_{j=1}^r(x_i-u_j)\prod_{j=0}^p
(x_i-x'_j)}{\prod_{j\neq i}^r(x_i-x_j)\prod_{j=0}^p(x_i-u'_j)}+
\sum_{i=0}^{p}\frac{
\prod_{j=1}^r(u'_i-u_j)\prod_{j=0}^p
(u'_i-x'_j)
}{\prod_{j=1}^r(u'_i-x_j)\prod_{j\neq i}^p(u'_i-u'_j)}=\\
=\sum_{i=1}^r x_i+\sum_{i=0}^p u'_i-\sum_{i=1}^r u_i-\sum_{i=0}^p x'_i,
\end{align*}
y esto no es sino la identidad necesaria. $\blacksquare$
