Límites de funciones de variable 2

Question

Cómo sería demostrar que si $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ es una función tal que

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L$$

y cada $y_0 \in \mathbb R$

$$ \lim_{x\to a} f(x,y_0) = L'_{y_0}$$

y cada $x_0 \in \mathbb R$

$$ \lim_{y\to b} f(x_0,y) = L''_{x_0}$$

entonces

$ \lim_{x\to un} \left (\lim_ {y\to b} f(x,y)\right) = \lim_{y\to b} \left (\lim_ {x\to un} f(x,y)\right) = L$ $

Answer 1

Usted no puede demostrar que las dos variables límite es igual a la iterada límites, incluso si ambos existen, desde las dos de la variable de límite puede no existir, incluso si ambos limita a afirmar que existe y son iguales. Por ejemplo, tome $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$,$a=b=0$. La iterada límites, tanto existen: $$\lim_{x\to 0}\left(\lim_{y\to 0}\frac{xy}{x^2+y^2}\right) = \lim_{x\to 0}\frac{0}{x^2} = 0,$$ $$\lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to 0}\frac{xy}{x^2+y^2}\right) = \lim_{y\to 0}\frac{0}{y^2} = 0.$$ Pero el límite no existe como $(x,y)\to(0,0)$. Si te acercas a $(0,0)$ a lo largo de la línea de $y=x$ obtener el límite de $x\to 0$$\frac{x^2}{2x^2}$, que va de la a $\frac{1}{2}$, no $0$. Así que las dos variables no existe límite, aunque los dos iterada de los límites de ambos existen y son iguales.

Si se supone que las dos caras límite existe y es igual a $L$, y, a continuación, desea demostrar que la iterada límites, por lo tanto, existir y ser iguales, entonces usted podría tener una mejor oportunidad. Comienza por pensar en las definiciones.

Agrega más adelante: Y, a continuación, mirar a Robin Chapman ejemplo para ver que no acaba de funcionar. Así que usted no consigue implicaciones de cualquier manera.

Answer 2

Se trata de una réplica al comentario de Arturo que si existe el límite de dos variables entonces ambos iteran existen límites. Definir $$ f (x, y) = \left\ {\begin{array}{cl} (x^2+y^2)\sin(1/x+1/y)&\textrm{if %#%#%,}\\ 0&\textrm{if %#%#%.} \end{matriz} \right.$$ entonces ciertamente es continua en $xy\ne0$ $xy=0$; que es $f$ $ pero para cualquier % distinto de cero $(0,0)$, $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.$ $ no existe (la función es violentamente oscilatoria $x$ cerca de cero). Así $$\lim_{y\to0}f(x,y)$ $ carece de sentido.